把以上二式分别代人（6）和（）式，就得岁x(n)≤Vqlog9，x为原特征。(8)现在来讨论为非主非原特征的情形．设→*，由第一章51性质11知，X.(n) - %*(n)xg(n).其中g2g/919由第章（7)式确定.所以M+NM+NM+NM>Yx(n) =x*(n) x*(n) μ(d)>-M+1dl(n,9,)+1()Mx*(n')- u(d)x*(d)4141M+1SA'SM+N由此及（8）式就得Vg*1ogg*2 lμ(a)x(n) !(9)≤ 2(42) Vg* 1og g*其中（g2）表42的不同的素因子的个数，当（2）≥2时，显然有42 ≥ 2 × 3 × 5(2-7≥ 6×22(0)-,所以1162a)V41≤2 V42由此及（9）式就得，当x为非主非原特征时（4）式成立，定理证毕.2．经典的特征和均值估计定理2设a为任意复数，则对任意的整数M及N≥1，我们有≤(g)(1+[ [a, (10)anx(n)20.134
397-.证先假定N≤9，我们有M+NM+N2TdxT x(n)x(n2)aa,an.N+1n,=M+18=M+1XM+NIan13.(11)MΦ(g)(t)一这就证明了当N≤q时定理成立，当Nq时，我们可把特征和M+N>a,x(n)5≤M+1N-41个长度不超过q的特征和之和,再利用Schwarz分为1a不等式，从（11）式立即推得（10）式，证毕在进一步讨论经典的混合型（连续的和离散的）特征和均值估计之前，我们要证明二个属于Gallagher[33]的引理，由于有了这两个引理，使得混合型均值估计和大筛法有了一个十分简单和巧妙的形式与证明。首先，我们引进“佳位组”的定义，定义1设8是任一大于零的正数，若实数列x（0≤i≤）满足条件xx..≤xk-≤xk.min(i41 --)≥8,(12)则称数列x(0≤≤）是一个8佳位组引理1设）为区间【x，］上的复的连续可微函数，数.列（0≤≤）是一个佳位组，则有2(x)13≤6-1**1(x)12dial+ 2 ( () 12ax) (** I() / ax)*(13)证令1E()at,0≤i≤h-1,g:(z) *i+1其中xx+E() -OK其它35
这样就有#+g;(a)(1f()13)'dx g;(x) /(x)121If()[E()dxTiti xit1()12dxs- Jf(xi+)12-xitl-由于g（*）≤1及x+1一x；=8，从上式即得I(+) ≤ 8- * () + *1() 1(0) dx.上式二边对求和，并利用Schwarz不等式就推得2(* +22e1≤8-1 (** 1f(x) 13dx+2 ( ()a)(s () Px)这就是（13）式，证毕这引理给出了用函数本身及其导数的积分来估计离散和的一种方法，也是大筛法的基础。人引理2设究为一可数的实数集合，c(α）为实变量α的复值函数，且满足条件M Ic(α)/<+8,ES再设(14)S(0) t Z c(a)e(αt),CYE则有(15)1s()at≤2 8/C(a)13dx, T≥0,其中c(a).NCr(r)-36-
证令1Ix≥[04T(16)Fr(r) e1[2T,Ix<4T则有C()-(a)F(0).2TCr(α）的Fourier变换为1)C(0) - [Cr(r)e(xt)dx1()Fr(x-a)e(t)dx72T1 Zc(o)e(at)Fr(r)e(xt)dx2T1S(t)fr(t),(17)27其中f(）为F(）的Fourier变换，由（16）式可求得元sin2TFI(t)mt2T所以当小≤T时有IFr()/ ≥2(18)元应用熟知的Fourier变换理论的Plancherel定理，并利用（17），（18）式可推得"1Cr(x)1dx =f1c()12ats()f()/a4T2Cr（*)e（x)dx绝对收敛，以及(17)中的积分号与求和号是1）不难验证，积分！可以交换的* 37
1Is()]2[f+(t)at2472Is(t)iat,2由此即得（15）式，证毕引理2使得形如(14)式的广义三角和的模的平方积分可以利用它的系数来估计，这是混合型均值估计的基础，把定理2与这2个引理结合起来，就可证明关于经典的混合型特征和均值估计的三个定理设有限Dirichlet 级数M+N(19)H(s,x) -a.x(n)n一=M+其中M≥0及N≥1为整数，×为模9的特征，s-十t不难看出，它是形如（14）式的广义三角和，只要取1- logn, c(a) - a,x(n)n-",22元M+IAnAM+N定理3设H(s，x）由（19）式给出，则对任意的T≥1有E iH(s, x)dt《(a)>(gT + n)/an/'n-2. (20)q(FN+1证对H(s，x）应用引理2得[H(s,x)}dt ≤T?E anx(n)n其中上式二边对×求和，并交换积分号与求和号，应用FT定理2可得"a,x(n)n-oTH(s, x)P2dt ≤T2["]>T:*.38