r-rstisrrsri.故有(ri,r)-l,rrriri. 再设g-krt.由引理3知，r(z x) -z (g)a(g)r(z),(42)1(x,x) 一 x () (二) (x).(43)由以上两式可知，（41）式的和式中不为零的项必须满足条件(44)(, ) 1, μ() =1,而当（，）时由及引理1知Gxxg(m) = Gxxx(m) = Xi()X(k)Ct(m)Gxx(m) (45)由（42）一（45）及引理6即得1172F(x1, X2, m) [x(r)x2(ri)μ(rir2))[Gxx(m)$(r)Z IC(m)].(46)(R)由（46）式容易看出，当（r3i）≥1时恒有F(X1, Xr, m) 0.所以只要考虑(rss rir2)的情形。首先，我们来讨论Gxx（m）。由于1z不一定互素，所以不能直接利用引理1，由特征的分解知，可设X, xx,X, x2X2其中x，x分别为模i，的原特征，x)，x2)均为模的原特.征。这样就有1Xx xx2xix2 - Xxx其中一x并不一定是模的原特征，而乘积x则是模6rir的原特征．由于（rs，rir）1，故利用引理1及（32）式得Gxx(m) - Gxxx(m) Xg(rir2)xixi(rs)Gx(m)Gxx(m)(47)= X(rir)x,x(r)x)x(m)Gx.(m)r(xix)..29:AT
4故进一步需要讨论Gx(m），设Xsmod r3<>modr，由引理5,6可推得(48)IGx,(m)/ ≤p(rs)(m,r))(m,r)所以当（r3，7ir）一1时，由（47），（48）式得到Nrizrir2Vrs/(m,rs)1Gx(m)is$(rir)(G)p(rs/(m,rs))$(r)hr(m,r3)(1-)I (1-)p(rird)Ypirm)[(m,r)rir2II$(riri)or3plm1× I (1--(49)0P)最后，我们来讨论（46）右边的和式，由（47）式知当（m，）一（m，t/rs）≥1时恒有F(X1, X2, m) - 0.所以我们只要考虑（m，"/r3）一1的情形，这时由引理2知 ()IC,(m)/)-1Ct(m)/ - II(p --- 1)2)$(r)etrT3PtA1I门t1+(50)Btp-12P综合以上的讨论，由（46），（47），（49）及（50）式可得到下面两个结论：)-0,(m,二)>1三个条件中(1)当只要有一个成立时，就一定有.30CE
(51)F(x1,X2,m) - 0+0及(2)1成立时，必有(m,r)rir2F(X,X2,m)s$'(rir)r3el(m.ts)1m(52)Φ(m)B107)(p一用粗略的估计，可以算出上式右边m/（m）前的系数不会超过32，这就证明了我们的引理。对于引理7需要指出的一点是，当模1中有一个或全都等于1时，引理仍然成立。（参看51附注）
第二章特征和估计与大筛法本章主要是讨论下列三种型式的特征和估计：X+x;(1)x(n),M++Nunx(n)>(2)以及>anx(n)9≥1,：(3)dg其中求和号乙*表示对模的所有原特征求和，（1)式是最简单的特征和估计，（2）式是对一个模9的经典的特征和估计，而（3)式是所谓大筛法型的特征和估计，它首先是由Bombieri所引进的，为了估计这一类新的特征和，就需要利用大筛法一一这是本3的内容．本章还要讨论相应于（2）、（3）式的一些混合型的特征和均值估计。本章的内容在本书大多数章节中都要用到，是十分重要的。51.最简单的特征和估计设×为模的非主特征，由特征的性质立即推出，对任意的M，N有估计式9>x(n)2成立，但这结果是十分粗的，进一步我们要证明下面的定理定理1设X为模9的非主特征，则对任意的整数M及N≥1,有32
M+Nx(n)(4)V≤2/q logg.-M+1证显然无妨一般，可设N<9：首先讨论×为原特征的情形，由第一章（32）及（40）式知￥1nhZx(h)eX(n) ()的以及x(()()(n)()(5)由于sin21xlT2x所以，当为奇数时，M+NZAVA(6)x(n)haM+1当9为偶数时，gM+N311(7)Vgx(nhM+1利用不等式2h +1二logh≥1,2h-1h可得1≤log 9,4为奇数；hE1711og（g-1)≤log9 为偶数,:9h-·33