22oy(k):h(h-i)u(i)(2.2.64)对于因果系统来说，此式化为1h(k-j)u(j)=y(h)=h(i)u(h-j)j=0卖1(2.2.65)我们可以利用z变换2来定义离散时间系统的传递函数。记作H(z)z(h(k))把式（2.2.65）两边作2变换，得变换式为y()=H(z)U()另外：冲激响应或传递函数特性都不能把系统的初始条件考虑进去。为此我们研究状态变量表示式。状态变量概括了系统过去的状态，故输出（）可写成如下函数形式y(h)=f(x(h),x,(k),",x(k),u(h),k)(2.2.66)式中x()=[x(k), ",x())表示状态向量。这时状态方程可写成x(h+)=fix(k),...x(h,u（h),k）i=1.n(2.2.67)并构成一个n元一阶联立差分方程组。对于多输入，多输出系统来说，这些方程可写成向量形式x(h+1)=f(x(k),u(e),h)(2.2.68a)y(k)=h(x(k),u(),h)(2.2.68b)式中u（k）表示p维输入向量，y（）表示维输出向量。与非线性微分方程的情况不同，对于式（2.2.68）代表的离散时间系统来说，它的解x（）对于所有≥。的整数都是存在的且唯一的。我们看到，只要重复利用式（2.2.68），就很容易得到差分方
23程的数值解。事实上，微分方程的所有数值解法中，都包含了对时间的离散化。对于线性系统，状态方程化为(2.2.69 a)x(k+1)A(h)x(h)+B()u(h)(2.2.69b)y()=C()x()+D(h)u()而对于线性时不变系统则为(2.2.70 a)x(k+1)=Ax(h）+Bu()..(2.2.70 b)y(k)=Cx(h)+Du(h)式中的矩阵都是常数矩阵。线性离散时间系统状态方程的解重复使用式（2.2.69），容易得到线性离散时间系统状态方程(2.2.69)的解。若给定任意h。的x(h。），则k≥h。时的解x（h）可按下法求得x(h)=A(k-1)x(h-1)+B(h-1)u(k-1)=A(-1)[A(—2)x(-2)+B(k-2)u(-2))）+B(h-1)u(k-1)：=A(k-1)A(h-2)..-A(k)x(h,)R-22 A(h-1)A(h-2)A(j+1)B(j )u(j)+j-ko(2.2.71)+B(k-1)u(h-1)若定义>时h-1$(K, j)-A(i)=A(K-1)..A(j +1)A(j)=j(2.2.72)和(2.2.73)，）二！（单位矩阵）则有
24k-1(j+1)B(j)u()x(h)=(,h)x(h)+1=ha(2.2.74)方程（2.2.74）是式（2.2.45）的离散化。式（2.2.74）右边第项是r初始状态×（h）的贡献。第二项是时间区间【ke，k一1]内的输入作出的贡献。系统的输出是k-1/Fy(h)=c()(h,)×(k)+(k,j+1)B(j)u(j)21i= ho(2.2.75)+D(K)u()令x（）=0，u（）=t不难得到系统的冲激响应为(2.2.76)H(h,D=C()(h,1+1)B(1)+D()o:对时不变系统而言，状态转移矩阵化为R-1(h, j)-[A(i)At)(2.2.77)i=i所以状态向量表示式为k-1NAtjBu(j)(2.2.78)x(h)=At-ox(h)+jsko系统输出由下式得到R-1y(h)c A*-to x (h.)+Ai Bu(j)+Du(h)j=ho(2.2.79)令x（h）=0和u（k）=0l，得到冲激响应为(2.2.80)H(h,1)-H(k-I)-CA*"*B+DOt我们还可以得到式（2.2.70）表示的线性时不变系统的频域表示。令=0，把该式两边作2变换(2.2.81)2X(2)-×(0))=AX(2)+BU(2)因此
25X(2)=221-A)1X(0)+【21-A)"BU(z)(2.2.82)输出是蛋Y(2)=C(z(|-A)x(0)+(α-A)"BU(2))+DU(2)(2.2.83)传递函数矩阵是→(2.2.84)H(2)C(21-A)B-D此外，传递函数的诸极点就是矩阵A的特征值。2.3随机过程(10)我们在本节复习随机过程的一些性质，这些性质在以后的讨论中都是有用的。我们将讨论独立增量过程，并且介绍白噪声过程的概念，因为它在许多工程应用中都起着很重要的作用。本节最后讨论以完备正交函数集表示随机过程。有关这些课题我们仅就一些必要的内容作撼要的介绍，读者欲知详细的论述和其它结果可以参考{5～10]。我们记得，定义在区间T上的随机过程（1，），乃是从概率空间9到实数轴上映射，使得对每一个确定的T，x（f，专）是一个随机变量。确切地说，α（，）是概率空间Q上事件的g-域的一个可测函数。因此×（，）代表函数的集合或是总集。这个函数族中任何一个特定的函数都是随机过程的一个样本函数或实现。为方便起见，以后我们表示随机过程时只写（）不写x（t，）。我们可以这样来得到随机过程的一种描述，就是利用在有限多个时刻，。上计算随机过程的联合分布，即利用概率；(2.3.1)Px(t)xx(t)x(t)sx)集类A=称为-城，如采(）AUAEAi)AnAEA,)AEA，A表示A的补集，iv)OU AEA.i=1
26式中α，x，是实数。只有对于所有的n和对于所有的时刻这些概率都已知时，才能得到随机过程的完整描述。若已知一可数集合动上的分布就能够对所有；定义随机过程x）则称该过程是可分过程。马尔柯夫过程是一种比较重要的过程，它可以用式（2.3.1）完整地描述。我们称如下随机过程x（t）是一阶马尔柯夫过，如巢对于任一时间集合，都有P[x(tm)≤xmx(t)=x1,,x(tm-1)=3m-1)(2.3.2)=P（x(tm)≤xmx(tm-)=Xm-）利用概率密度函数可把上式写为(2.3.3)p(xmxi,X,",xm-1)=p(xmxm.1)若把-1成是现在的时间，可见式（2.3.3）意味着末来的、即在时间的概率密度仅取决于随机过程在现在时刻的值，而与过去的值完全无关。式（2.3.3）的右端称作马尔柯夫过程×（1）的转移概率密度函数。一个马尔柯夫过程（），如果它的转移概率密度函数和初始概率密度函数是已的，那么它的招阶联合密度函数是很容易求得的。只要接连地应用贝叶斯公式来求(2.3.4)p(xmsxm-js,x,)p(xmxm-p(xm-1lxm-2)-p(x)高阶马尔柯夫过程可定义如下：对任一点第≤≤…我们称马尔柯夫过程是阶的（<m），如果：P(x(tm)≤xmlx(m-1)=%m-1"*,x(t)=x)(2.3.5)P[xtm)≤xmx(tm-)=xm-1,x(tm-)=%m.）大多数情况下，本书限于讨论一阶马尔柯夫过程。一个随机过程称为过程，如果：E(x(tm)x(tm-)),x(tm-2), **,x(t)) =x(tm-))(2.3.6)独立增量过程前面曾经指出，白噪声过程在许多工程应用中起很重要的作用。我们可以认为白噪声过程是所谓独立增量过程在形式上进行