17容易证明，联系向量×（t）和x（t）的矩阵P是β.Oabpα-(a+b)即x(t)=αx,(t)+Bx,(t )()=abx()+(α-(a+b))x()状态方程的解：状态转移矩阵我们现在来研究如下方程的解x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)t≥to x(t)=x。(2.2.35)我们再次指出，它构成了一个一阶"元联立线性微分方程组。齐次方程组X(t)=A(t)x(t)(2.2.36)有n个线性独立的解x（t），x2（t），*，x（）使式（2.2.36）的其它解可以利用这些解表示出来。我们利用W（t）表示由这些解的列向量构成的矩阵：(2.2.37)W(t)=(x'(t) x"(t) . x"(t))W（1）称为关于式（2.2.36）的基本解阵(4)。由此得出，由于W（T）的诸列是式（2.2.36）的线性独立的解，所以W（t）是非奇异的，并且满足矩阵微分方程dW(t)=A(t)W(1)(2.2.38)dt现在我们对于固定的和定义一个矩阵（t，）为(t, t)=W(t)w"()(2.2.39)（1，T）称为关于式（2.2.36）系统的状态转移矩阵。以后我们要证明，状态转移矩阵在求（2.2.35）解的过程中起着重要的作用。不难确定出（1，T）有如下性质1、对于每-个t，（t，）满足方程
18(t, )=A(t)(t,t)(2.2.40)af把式（2.2.38）两侧右乘W1（）后，再利用式（2.2.39）即得此式。2.令T1代入式（2.2.39）得(2.2.41)(t,1)=1对所有！3.对（2.2.39）求逆，得到中1(t, t)-W(t)w(t)-中(t, 1)(2.2.42)4，对任何1，和T，如下的关系成立+(t, E)(E,T)-W(+)W-I(E)W(E)WI(T)-w(t)w-(t)-4(t, )(2.2.43)5.对任何t和，有神( ),=-(t, t)A()(2.2.44)at上等式是根据：(t,T)(t+t)=两侧对微分，得(++ 2*(t, 0)+(t, t)(+)= 0atat因此，利用式（2.2.40）得到(--(1, ))(T, t)aT-(t )A(T)(T,)-I(T,)应当指出，A（）唯一地确定了（t，）。一般说来，求中（t，）是极其困难的，常常要求助于数值积分法求具体积分域上的中（t，）。现在我们证明，式（2.2.35）的解可以利用状态转移矩阵表示
19x(t)=$(t,t0)x(t)+ (+(t, t)B(+)u(t)dt(2.2.45)为了建立上式，我们证明式（2.2.45）中的x（1）满足微分方程（2.2.35）和有关的边界条件。式（2.2.45）中的x（t）肯定满足初始条件，因为(tΦ(t, +)B(t)u(t)dt=xex(t)=中(to,to)xo+若将式（2.2.45）两侧对1求导数，得×(1)(t,i)x0+Φ(t, t)B(t)u(t)l-.at(t (t, t)B(t)u(t)dtat于是利用式（2.2.40）得(lt)x(+)=A(t)Φ(t,t))xo+B(t)u(1)+A(+)XB()u()dt利用式（2.2.45）可把此式重写为x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)因此×（t）满足微分方程（2.2.35）。x（t）是该方程的唯一解。应当指出，把解写成如式（2.2.45）时，已隐含地假定了系统是因果的。该式右边第一项代表初始条件响应，第二项是输入引起的响应。输出（t）的表示式如下y(1)=C(t)x(t)+D(t)u(t)+(t, t)B(t)=c(t)[(t, t)x (to)+(2.2.46)Xu()dt)+D()u()令x（t）=0和u（1）=6（t-t），就不难求出这个系统的冲激响应。我们得到冲激响应矩阵H(,t,)=C(t)Φ(f,t)B(t)+D(t)6(f-t)(2.2.47)对于式（2.2.32）的时不变系统，它的解可写为
20x(+)=中(+ -to)x(t)+f()Bu()dt(2.2.48)这种情况下不难计算出转移矩阵为A'-)(t -t)=eA(-fo) =(2.2.49)i1i=0因此，我们可进步写出相应于式（2.2.45）的解为C'eac-Bu(t) dtx(+)=ea(-p'x(to)+ (2.2.50)输出y（t）可由下式求出y(t)=c[ea-0'x(ft) + Ste-) Bu(t)dt]+ Du(t)(2.2.51)对于时不变系统来说，由于初始时间可以任意选择，可以令式（2.2.48）至式（2.2.51）中的t。0，再令式（2.2.32b）中的x（0）=0，并作拉氏变换得e的另一表达式(2.2.52)$X(s)=AX(S)+BU(s)因此X(s)=(sI-A)-IBU(s)(2.2.53)然而，令×（0）=0并把式（2.2.50）做拉氏变换可得X(s)=B(eAm)BU(s)(2.2.54)比较式（2.2.53）和式(2.2.54)得S(e"]=[s]-A)"B(2.2.55a)或eN-"[SI-A]"B(2.2.55b)式（2.2.48)中令×（t）=0和u（）=6（t-t），可得到系统的冲激响应矩阵。由此得H(t,t)=H(t-t)CeA(o'B+D6(t-t,)(2.2.56)或是更一般地写为
21(2.2.57)H(t)=CeAB+DS(t)把式（2.2.57)作变换得到相应的转移矩阵为(2.2.58)H(S)=C(sI-A)"B+D其中利用了式（2.2.55a）。利用以下关系式(sl -A)"=-Adi(sI-A)(2.2.59)+det(sl -A)得H(s ) CAdi(sl-A)BBD(2.2.60)det(sl-- A)由此得知，传递函数矩阵H(s）的诸极点（奇异点）就是矩阵A的特征值。离散时间系统(2)前面对连续时间系统的各种讨论，不难推广到离散时间系统。已知一个线性离散时间系统，它的输入-输出关系为T(u(h))=y(h)(2.2.61)设h（，）表示在时刻k观察到的、系统对时刻）外加冲激输入的响应。系统加上任意输入u（j）（je（-o，o））后得到的输出（k）可利用冲激响应h（，）与输入的褶积和表示2y(h)=h(h,j)u(i)(2.2.62)j=-oo对于因果系统来说，由于<时h(h,j)=0式(2.2.62)化为y(h)rh(h,j)u(i)(2.2.63)对于时不变系统来说，若以h（）表示系统在时刻对于零时刻外加输入冲激的响应，则由任意输入u（，）引起的冲激响应可表示为