27微分运算的结果。这一节我们讨论独立增量过程中广泛用做许多问题的模型的两种过程，即维纳过程和泊松过程。维纳过程是具有高斯统计特性的连续随机过程，泊松过程是服从泊松分布的离散随机过程。我们称一个随机过程×（）是独立增量过程，如果对于任何瞬时t<t≤t<t增量x(t)一x(t)和增量xt)-x(t）彼此互相独立。我们指出，增量是在互不交叠的区间上取的。我们称一个随机过程是高斯过程，如果随机变量×（t）*t）,，x（t）对于任意n和任意，t.，t都是联合正态分布的。也就是说，如果我们定义一个随机向量x为x=(x(t),x(t),",x(t))T则有1(x-m)rV(×-m)p(x)=(2n)oaiv1texp)(2.3.7)式中m是x的均值，V是协方差矩阵，其定义为V=E((x-m)(x-m)")(2.3.8)有了这些定义之后，就可以介绍维纳过程的概念了。我们称定义在tE【0，α)上的过程（t，）是维纳过程，如果（1）对于几乎所有的，×（0，）=0：（2）×（t）是一个独立增量过程，(3) t,≥t,时1P(x()α()<J=V2元(t,--1)(2.3.9)201.-1.因此维纳过程的增量是高斯分布的。可以证明维纳过程是几乎处处连续的C12:我们指出，在定义维纳过程时，可以去掉上述条件（3），而
28代之以要求对于几乎所有的，（t，）对t都是连续的。因为在这种情况下可以证明×（t）对任意1都是高斯随机变量，所以这两个定义是等价的1"3。现在我们可以求维纳过程的矩了。根据式（2.8.9）得×（1）的均值为零。为求α（）的相关函数中(t1,t)=E(x(t)x(t))我们注意到，对于一1有E(x())=t(2.3.10)>t，时，可写x(t)=x(t,)+x(t)x(t,)因此E(x()x()=(t,)+x)-x()x())=Ex(+E()()(x()-x(0))=t(2.3.11)式中最后一步是由式（2.3.10）和根据×（）是%（0）=0的独立增盘过程得来的。类似地，时有E(x(t)x(t)) =t)(2.3.12)因此(2.3.13)d(ti,t)=min(tit)维纳过程虽然是连续的，但它是不可微的。然而我们假定在形式上将x（t）微分，得到过程w（1）=×（），然后根据式（2.3313)得E(w(tw()=8(t-t)(2.3.14)由于W（：）所表示的信号其能量是无限的，所以它显然不能对应实际的过程。随机过程（）称为白噪声过程。这个名称来源于如下事实：如果我们定义"（t）的谱为相关函数式（2.3.14）的富氏变换，则可知这个谱在整个频率范围内是常数，或者说是“白色的
29现在我们来介绍泊松过程的概念，泊松过程是具有至多可数个阶梯的阶梯过程。我们称一个炮义在t【0，co）上的随机过程x（，E）为泊松过程，如果（1）对于几乎所有的，（t，）都是非降的阶梯函数，在每个不连续点上的跳跃量都是1，并且x（0）=0："e.（2）×（1）是一个独立增量过程（3）在与之问跳跃次数的概率服从泊松分布P(x()-x(t)=)=exp(-t-il (lie-t:Dx*k!(2.3.15)如果我们容许每个间断点上的跃量是随机变是a就会得到广义泊松过程（t）。显然（！）也是个独立增量过程如果诸随机变量，是独立同分布的高斯随机变量，且均值为零、方差为，则可证明，（）的矩为E1(t))-0且E(y(t)y(t))=oamin(tt)(2.3.16)这个结果与（t）是维纳过程时的结果一样。同样，若把（t）微分，得到过程（t），则有Ew(t)w()=8(-)(2.3.17)因此，w（t）也是白噪声过程。现在我们举一例说明白噪声过程在构造信号模型时的用途。例2.3.1我们来研究个线性时不变系统，它的冲激响应为h（t），相应的传递函数为H（s）。如果加给系统一个平稳的输入（），则输出（）为(1)=mh(t-2)x(入)d入=×(1)h(x)d(2.3.18)利用系统传递函数H（）表示，可得
30Y(s)-H(s)X(s)(2.3.19)不难推知，（1）的均值和自相关函数可由×（）的均值和自相关函数推得为my=mH(0)(2.3.20 a)和中(T)=Φ(-u-)h(x)h(-u)ddu(2.3.20b)利用各自的功率谱表示，可把式（2.3.20b）写成Φ()=H(s)H(-s)()(2.3.21)方程（2.3.21）给出了一种种用白色噪声源和线性系统产生预给的相关函数和功率谱的平稳随机过程的方法。假定要求的功率谱Φ，（s）是s的有理函数（即两个s的多项式之比）。根据式（2.3.21），若×（）是具有单位功率谱的白色噪声，即Φ(s)=1(2.3.22)则Φ($)=H(s)H(-8)(2.3.23)若将Φ（）按零点、极点分解因式，可写成(2.3.24)@(s)(s)Φ(s)式中Φ）包括所有零、极点在左半平面的项，Φ（s）包括所有零、极点在右半平面的项。由于Φ（s）是功率谱，所以Φ（）≥0，可以证明(2.3.25)Φ(s)=Φ(s)并且式(2.3.24)可写为@()((s)(2.3.26)使式（2.3.23）和式（2.3.26的右侧相等，得(2.3.27)H(s)=Φ(s)式（2.3.24)中所包含的过程称作谱分解。反之，我们把一个信号（）通过滤波器G（：），若滤波器的传递函数是1/Φs），输出应是白色噪声。滤波器G（s）
31称作自化滤波器。我们指出，本例中的H（s）及其倒数G（s）都是因果系统。自色噪声的概念还可进一步推广，我们定义一个非平稳自噪声过程，它的相关函数为E(w(t)w(t))=V(t)8(t)-t,)(2.3.28)式中V（）是一个非负函数。应当指出，以后的讨论中凡涉及白噪声过程输入的系统时，各种方程的运算都纯属形式上的运算，因为定义白噪声过程的积分或导数还有困难。解决这些问题的一种办法是利用广义随机过程的概念133，这种过程是根据分配函数理论建立的。以维纳过程代替自噪声过程进行分析，也可以得到严格的解。但是由于维纳过程不是有界变差的，所以为得到一致的结果，必须对随机积分采用特殊的定义。有关这些方法的讨论，请读者参考[7～12)。同连续的白噪声过程定义类似，可以定义离散的白噪声过程为这样一种过程，它在任意两个离散时间和上的随机变量（）和x（）都是互不相关的，即中(,j)=E(x()x())=(h)oi(2.3.29)若α与无关，式（2.3.29)化为中(h-)-aot(2.3.30)这时，若均值是常数，则得广义平稳过程。对式（2.3.30)取z变换，得该过程的功率谱为0(z)=02(2.3.31)它对所有2都是常数。最后我们讨论一下随机过程的级数表示来结束本节。随机过程的裹示表示一个随机过程×（1），使用初等的时间函数往往是很方便的。我们最常遇见的表示方法，大概是富氏级数展开式了。我们先从周期过程的富氏级数表示开始讨论。富氏级数