12这些状态方程构成了一个一阶联立微分方程组。上述结果，可以直接推广到多输入、多输出情况。给定一个系统与个输入u）（）和q个输出y）()我们定义系统的状态变量为如下的任一组变量x（t），"，x,（t)，它们连同输入数值一起足以唯一地确定出各输出值。我们把输出和状态方程写为yi(t)=hi(x,(t), , xn(t ),u,(t),-,up(), f)(2.2.18a)i=1,,qx,(t)=f(x(t), -", x(+),u,(+), ",up(i), t)(2.2.18b)j=l,, n定义如下的向量x(1)=(x(+), , x(1))Ty(1)-(y(1), ", (1))u()ur(),u()可以把这些方程写得更紧漆些y(t)=h(x(t), u(t), t)(2.2.198)x(1)=f(x(1), u(1), t)(2.2.19b)式中向量h（，，）和f（，，）的定义很明显。为解方程（2.2.19），假定在初始时刻t。，初始条件为x(t。）=Xo。只要解方程（2.2.19b）求出×（），就可以直接由式（2.2.19a）算出y（t）。遗撼的是，一般很难求出式（2.2.19b）的解析解。事实上只有某些特殊情况才能求得解析解。然而，如果我们能够确定该方程有唯一解，就可以试用数值积分法求该方程的近似解。对于非线性微分方程而言，解的存在与睡一性问题是一个关键性间题。例如，研究如下的非线性微分方程x=[x(t))18X(0)=0不难由直接代入证明，如下两个函数都是方程的解120x(t)=0
131>0然而我们能够得到式（2.2.19b）的解存在与唯一性的充分条件。为了引出这个条件，让我们去掉式（2.2.19b）对u（）的明显依赖关系，把该式写为x(t)=f(x, t)(2.2.20)x(t) =xo若f（x，）对×是连续的，则可证明4式（2.2.20）存在有连续可微的解x（t）。此外，若对任意的x和x，f（，t）对某一常数C有(2.2.21)Ilf(x, t)-f(x, t)<Cx-x'll则该方程的解就是唯一的。这里II·是向量的范数（参见附录C)。·式（2.2.21）的条件就是著名的里警希兹（Lipschitz）条件。若f（x，t）对x连续可微，里普希兹条件退化为af<c对所有的t和x(2.2.22)a许多非线性微分方程中，它的解可能只在一定的时间区间上有定义。例如，考虑如下方程x(t)=x(t),x(0)=0(2.2.23)它的解是x(t)=(2.2.24)-t显然，除=1外这个解都能实现。人们称这种解具有有限例外时间。这样一个方程显然不能代表实际的物理系统。保证方程解对所有t都有定义的条件是f<C(1)<0对所有t和x(2.2.25)iaxC（）是某一连续函数。线性系统的状态方程对线性系统而言，系统的输出与系统的状态和输入间的关系
14是线性的，因此可以写为yi(1)=cin(t)x,(t)+cn(t)x(t )+.. +cin(t)x(t)+d,(t)u,(t)+.+die(t)ue(t)DZcn(1) x(1)+2di(1)u(t)1=11=1i1,,q(2.2.26)类似地，状态方程可写为x(1)=a(t )x,(t)+...+ain(t )x.(t)1+bn(t)ui(t)+.+bie(tu.(t)P1b)(t)u;(1)a(t)(t)+台i=1(2.2.27)i=l,...,n并且构成一阶线性微分方程组。定义矩阵A（1）、B（t）、C（）和D（t）为【au(t)-**()A(t ) :..anl()... am(1)bu(t) *. bie(t)B(1) :bu(t) ... bn(t).(2.2.28)[cu(t) " cm(t)c(t). Car(t) . Can(t)rd(t) die(t) -D(t)Ld() . da(t)-可以把这些方程写成向量一矩阵形式(2.2.29a)y(1)=C(t)x(t)+D(f)u(t)(2.2.29b)x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
15我们指出，对于线性系统由于(2.2.30)f(x, u, t)=A(1)x(t)+B(1)u(/)得OfiMA()Il(2.2.31)ax因此，若A（）川有界，则对所有t恒存在唯一解。对于时不变系统来说，A、B、C、D是常数矩阵，上述方程可写为(2.2.32a)y(t)=Cx(t)+Du(1)x(t)=Ax(t)+Bu(t)(2.2.32b)选择不同的状态变量组，会得到式（2.2.29）系统的另外一种描述。我们来研究一下式（2.2.29）系统的第二种最低阶表未式，利用状态变量x（1）把它表示为X(t)=A(t)x(t)+B(t)u(+)(2.2.33a)y(1)=(t)x(1)+D(1)u(1)(2.2.33b)这时存在一个非奇异矩阵P（1），使得x(t)=p(t)x(t)我们称式（2.2.29）的动态系统与式（2.2.33)的动态系统等价。不难证明A(t)=-P(t)A(t)+ P(t)P-()(2.2.34a)B(t)-P(t)B(+)(2.2.34b)C(t)-c(t)p"(1)(2.2.34c)D(t)-D(t)(2.2.34d)例2.2.1研究一个系统，它的输入输出关系由如下微分方程给定()+(a+6)y(t)+aby(1)Bu(1)+au(1)t<0时，u（1）=0
16设系统的初始条件为y(0)=1.3(0)=0显然，描写系统需要的状态变量最少个数为2。选择状态使X(t)=*()y(t)=ax(1)+βx,(t)易知系统方程的向量一短阵表示为x（t)x.(tx(Eu（t)-ab-(a+6) x,(tx.(f))[(t)y(t)=(αiLx().初始条件不难从3（0）=1和（0）=0推得为αβ(a+b)(0)=α+βa=ap(6）Bab（0)=+B-a(6)状态变量的形式是可变的。我们也可以选择第一个状态变量是x(t)=y(t)从而得到系统的另一种描述。这种情况下，如果选无，（1）为（t）的导数，则（t）的方程中将含有u（t）项，方程将不是（2.2.33）的形式。因此我们定义，（1）为x(t)=x(+)βu(+)系统方程化为x,(1 )01x(t)文（t)x. ( tah(ab)x.(t )βu(t)β(a+b))[()7y(1)=[10x(1))