7果系统的性能不行，还要对系统作一些修改。评价系统的性能时，可以从观系统的一般特性，也可以从确定它对某些典型输入的具体响应中得出。在寻求数学模型时，我们规定一些量（或变量）作为系统的输入，另外一些量作为系统的输出。例如研究电动机时，可以把电枢电压或励磁电流当作输入，而把转速当作输出。一般说来，输入变量和输出变量都是时间的函数。如果在任意时刻的输出仅与该时刻的输入值有关，则该系统是无记忆系统。然而，大多数系统都是有记忆的，也就是说，在时刻，的输出不仅仅与时刻，外拥的输入有关，也与时刻，前、后外加的输入有关。这样的系统称为动态系统。对于动态系统来说，如果在<，时作用有输入（），若u（）未知，则一般不能唯一地确定1>t时的输出（）。设有两个输入"（t）时"（）分别作用于系统，如果它们在>，时相同，而在<，时不同，那么在>t，时它们各自对应的输出（）将不同。为使系统对同个输入产生唯一的输出，系统的初始状态必须是松弛的或静止的。也就是说，如果在t≥时加上输入，则系统在，之前必须没有存贮能量。对于在t=一α时刻初始松弛的系统而言，可将其输入和输出间的关系写作(2.2.1)J(f)=T(u(t))式中T是描写输入、输出间关系的算子或函数。我们只研究输入和输出间的关系式是微分方程（微分系统）或差分方程（差分系统）的系统。系统是线性的还是非线性的，要视这些方程是线性方程还是非线性方程而定。所有的物理系统都是因果的或不可超前的。也就是说，如果系统是初始静止的，则在输入加上之前它决不会有输出。确切地说，设【u（t），（t）和(u,（t，y（）分别是两个输入输出对，若t<t时u（t)=ut）蕴含若t<t时y（)=y（t),则该系统是因集的。但是在有些情况下，我们也有机会用到非透
8果的模型。理想低通滤波器就是一个例子。线性系统式（2.2.1）描写的系统，如果对于任意两个标量α，和a，以及任意两个输入u（）和u（t），有T(au,()+αu,(t)) =α,T(u,(t)(2.2.2)+α,T(u.(t))则称该系统为线性系统。由式（2.2.2）不难得出，对于有限的nau(t)a,T(u())(2.2.3)·我们将假定式（2.2.3）对于无限项和及积分也成立。就输入输出关系而言，线性系统与线性算子二者是等价的。式（2.2.2）也称作登加原理。我们指出，为使叠加原理成立，系统必须是初始静止的，也就是说该系统的所有初始条件都是零。线性微分系统的特点是它的输入输出关系用线性微分方程来表征。一个系统，如果它的参数不随时间变化，则该系统是时不变的或平稳的。例如表征这个系统的微分方程是不随时间轴的移动而变化的。就是说，如果系统对输入u（t）的响应是（t），则输入u（）延迟以后，响应等于（1）(2.2.4)TIu(t-t))-y(t-t)冲激响应和裙积积分一个线性系统可以利用它对某些基本输入的响应来表征。冲激函数就是一种基本输入。设h（t，）表示系统在时刻t对时刻T外加单位冲激的响应。我们指出h（t，）表示的是以参数T为标号的函数族。已知任意一个输入u（），则根据如下的褶积积分可以求得输出y(t)
9(2.2.5)h(t, t)u(t)dt(t)我们称y（t）为函数h（t，）与函数u（t）的积，并记作(2.2.6)y(t)=h(tt)*u(t)式中*表示式（2.2.5）中的积运算。对因果系统来说，在施加输入之前其响应为零。因此对于因果系统可以写(2,2.7)h(t,t)=0t<t由此得线性因果系统的输出为y(t):h(t, t)u(t)dt(2.2.8)若在某一有限时刻t。之前输入为零，则式（2.2.8）化为fth(t, r)u(t)dty()-(2.2.9)对时不变系统而言，式（2.2.5）的褶积积分可化为y(t)-h(t -t)u()dth(t)u(t-t)dt(2.2.10)若系统是因果的，则<0时h（）=0，并且输出为y(t)=h(t-t)u(t)dth()u(tdt(2.2.11)t的任何函数f（t），当1为负值时若为零，则称之为因果函数。与此类似，若t>0时f（）二0，则称f（1）为反因果函数。若(f.(t )1<0f(t)(2.2.12)(f.(t)1≥0
10则称f。（）为f（t）的因果部分，f.（1）为f（t）的反因果部分。现在我们来研究一下多变量线性系统，它有P个输入"（t），u),",u）和q个输出(t),(),y(t)。设h（1，）表示第j个输入端在时刻施加一个单位冲激，而其它所有输入皆为零时，引起第1个输出端在时刻：的响应。于是由式（2.2.3）和式（2.2.5）得第i个输出端的响应y（1）为h(t,T)u(t)dti=1,",qy(1)=(2.2.13)因果系统或时不变系统的输出表示式与单输入，单输出系统的相应表示式类似。对于线性时不变系统而言，我们可以定义传递函数（多输入、多输出系统则是传递矩阵）为系统冲激响应的变换，最常用的两种变换是富氏变换和拉氏变换（。式（2.2.10）两侧作拉氏变换得Y(s)-H(s)U(s)(2.2.14a)式中（s）和U（s）分别代表y（t）和u（t）的拉氏变换，H（s）代表系统的传递函数。我们指出，由于信号是定义在整个tE（一，α）上的，使用双边拉氏变换较为合宜（参见附录A）。与此类似，利用富氏变换可写出Y(@)=H()U(0)(2.2.14b)表征系统的状态空间利用裙积运算求线性系统的响应时，要求系统的初始条件必须为零。也就是说，裙积积分只能给出系统的强迫响应。现在我们研究另一种描述系统的方法，这种方法可以考虑系统的初始条件。我们记得，在一个动态系统中，任何时刻1的输出不仅决定于该时刻的输入，还决定于系统在此时刻以前的状态。一个变量集合，若其概括了对系统现在或未来行为起作用的过去状态，则
11称为系统的状态变量。确切地说，我们定义系统在1。时刻的状态为。时刻的总信息，这些信息同输入一起唯一地决定了系统在所有。时刻的输出。个系统状态变量的选择不是唯一的。给定时刻t。的一组n个状态变量x（t），x（。)，.*，x（t。)可以定义状态向量x（t.）为x(t)=[(te),x(t),**,(+)描述一个系统所用的状态变量数就是系统的阶数。如果状态变量数是最小可能的数，则状态问量是最低阶的。例如，一个N阶微分方程摘述的系统，要求有N个独立的初始条件，才能确定系统的输出，因此状态向量的最低阶数是N。我们在本章其余部分仅限于讨论状态变量数有限的系统，这样的系统称为有限维系统。这就在讨论中排除了某些类型的系统，例如分布参数系统或包含延时的系统。根据前面的讨论得知，任何时刻！的输出（）可以根据状态变量的数值和st时的输入u（s）的数值计算。因此我们可以把系统的输出方程写成函数的形式(t)=h(x(t),",x(t)u(s),sat,t)(2.2.15)式中明显地引入了对参数的依赖关系，是考虑到在非平稳系统中，系统状态和输入与（1）之间的函数关系可能时时刻刻都在变化著。对于因果系统而言，（1）与s>f时的u（s）值无关，式（2.2.15）化为y(t)=h(x(t),,x(t),u(),t)(2.2.16)由于系统的既往状态是随时间的推移而变化的，所以系统状态的值也在变化着，必须加以更新修正。对于微分系统而言，描述状态演变的方程可以写成x(t)=f(x,(t), , x(t), u(t), t)(2.2.17)11，,n