第23讲紧算子的谱论 教学目的:掌握紧算子谱的特征 讲解要点 1紧算子谱的特征 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。 Freidho 1m择一定理 紧算子是一大类有界线性算子,线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子.本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz- Schauder 理论.为此,我们做一些必要的准备 设X是 Banach空间,C(X)是X中的紧算子的全体 引理1设X是 Banach空间,NcX是有限维子空间,则N是 可余的,即存在闭子空间M使得X=M⊕N 证明N是闭的,设e12…en是N的一组基,对于每个x∈N, a,(x)e 此表达式是唯一的.容易验证,a1(x),…an(x)是N上的线性泛函并且 每个a1(x)是连续的.实际上,a(x)=0当且仅当 (x)e1 (x)e (x)e 故N(a1)=spm{e1…;e-12e-t…,en}为n-1维闭子空间 a1在N上定义,根据Hahn- Banach定理,a1可延拓到整个空间X 上.记延拓后的泛函为a1…;an,设M=∩N(a),M是闭线性子空间 我们证明X=MN
1 第 23 讲 紧算子的谱论 教学目的：掌握紧算子谱的特征。 讲解要点： 1 紧算子谱的特征。 2 紧算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子方 程解的关系。Freidholm 择一定理。 紧算子是一大类有界线性算子, 线性代数和积分方程中遇到的很 多算子都是紧算子. 本节我们叙述关于紧算子谱的 Riesz-Schauder 理论. 为此，我们做一些必要的准备. 设 X 是 Banach 空间， C X( ) 是 X 中的紧算子的全体. 引理 1 设 X 是 Banach 空间， N ⊂ X 是有限维子空间，则 N 是 可余的，即存在闭子空间 M 使得 X = M ⊕ N . 证明 N 是闭的，设 1, , n e e ⋅⋅⋅ 是 N 的一组基，对于每个 x∈ N, 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ , 此表达式是唯一的. 容易验证， 1( ), , ( ) n ax a x ⋅⋅⋅ 是 N 上的线性泛函并且 每个 1 a x( ) 是连续的.实际上， () 0 i a x = 当且仅当 11 1 1 1 1 () () () () , i i i i nn x a xe a xe a xe a xe = +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ − −+ + 故 1 11 ( ) {, , , , , } N a span e e e e i ii n = ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ − + 为 n −1维闭子空间. i a 在 N 上定义，根据 Hahn-Banach 定理， i a 可延拓到整个空间 X 上.记延拓后的泛函为 * * 1 , , n a a ⋅⋅⋅ ，设 * 1 ( ), n i i M Na M = = ∩ 是闭线性子空间. 我们证明 XMN = ⊕
若x∈M∩N,则一方面对于每个,x∈N(a),a1(x)=0,又 x∈N,故 x=a, (x)e,+.+a,(x)em, =0 即M∩N={0}.另一方面,Vx∈X,记x=a1(x)e1+…an(x)en,则 x∈N并且 a(x-a 于是y'=x-x∈M,x有分解x=x+y.所以X=M由N. 引理2设X是 Banach空间,A∈C(X),元∈C,A≠0,则 N(AI-A)是有限维的,R(-A)是X的闭线性子空间 证明1°考虑N=N(-A)I-A是有界线性算子,故N是 闭线性子空间.Vx∈N,Ax=Ax,即A(N)=AN=N.A是紧算子 设{xn}是单位球中的任一序列,则{}是有界序列,A4()=xn于是 {x}中有子序列{xn}收敛.这说明N的闭单位球是紧的,从而N是 有限维的 2°由引理1,存在闭线性子空间M,X=M⊕N,我们证明 M=R(I-A) 定义算子B:M→X,Bx=x-Ax.由于X=MN,在N上, -A=0,故R(B)=R(4I-A).B是一一的,实际上若 Bx1=Bx2x,x2∈M,则 (I-A)x=(A-A)x2,或(A/-A)(x1-x2)=0 故一方面x1-x2∈M,另一方面x-x2∈N(-A)=N,所以 现在我们证明存在a>0,‖Bx‖2alxl,lvx∈M.否则,存在 X.∈M Bxn|n‖xn,不失一般性设‖xn|=1,则‖Bx|kn1.A是紧的 故有子列xn,Ax→x∈X.但Axn=Axn-Bx,由Bx>0知
2 若 x ∈ ∩ M N, 则一方面对于每个 , ( ), ( ) 0, i i ix Na a x ∈ = 又 x∈ N, 故 1 1 () () n n x = a xe a xe +⋅⋅⋅+ = 0, 即 M N ∩ = {0}. 另一方面， ∀ x∈ X , 记 '* * 1 1 () () , n n x = +⋅⋅⋅ a xe a xe 则 ' x ∈ N 并且 * ' * *' * * ( ) () ( ) () () 0 i ii ii ax x ax ax ax ax −= − = − = ， i n = 1, . ⋅⋅⋅ 于是 ' y x x Mx ' , =−∈ 有分解 ' ' x = x y + . 所以 XMN = ⊕ . 引 理 2 设 X 是 Banach 空 间 ， A∈C X( ), λ ∈C, 0, λ ≠ 则 NIA ( ) λ − 是有限维的， R( ) λI A − 是 X 的闭线性子空间. 证明 1 D 考虑 NNIA IA = ( ), λ − − λ 是有界线性算子，故 N 是 闭线性子空间. ∀ x ∈ = N Ax x , , λ 即 A( ) N NN = λ = . A 是紧算子， 设{ }n x 是单位球中的任一序列，则{ }n x λ 是有界序列， () . n n x A x λ = 于是 { }n x 中有子序列 { }k n x 收敛. 这说明 N 的闭单位球是紧的，从而 N 是 有限维的. 2D 由引理 1，存在闭线性子空间 M , XMN = ⊕ , 我们证明 M = − RIA ( ) λ . 定义算子 B : , M X Bx x Ax → =− λ .由于 XMN = ⊕ ，在 N 上， λI A − = 0 ， 故 R() ( ) B RIA = − λ . B 是一一的，实际上若 1 212 Bx Bx x x M = ∈ ,, , 则 1 2 ( )( ) λI − =− Ax I Ax λ ，或 1 2 ( )( ) 0 λI Ax x − − = ， 故一方面 1 2 x − ∈ x M , 另一方面 1 2 x − x NIA N ∈ −= ( ) λ ，所以 12 1 2 x −= = x xx 0, . 现在我们证明存在 a Bx a x x M > ≥ ∀∈ 0, || || || ||, . 否则，存在 , n x ∈ M 1 || || || || B n n x nx − < ，不失一般性设 || || 1 n x = ，则 1 || || B n x n− < . A 是紧的， 故有子列 0 , . k k n n x Ax x X → ∈ 但 k kk A n nn x x Bx = λ − ， 由 0 k Bxn → 知
→x0(n4→>∞).于是一方面由B的连续性,B0= lim / Bx=0 另一方面,‖x‖lim‖x,‖=|A|≠0,矛盾说明a是存在的 若y是R(B)中的 Cauchy序列,不妨设yn=Bxn,xn∈M,则 lyn-yn‖引B(xn-xn)川‖≥al‖xn-xn‖ {x}是M中的 Cauchy序列,M闭,故存在x∈M,xn→x,令 y=Bx0,则y∈R(B),Bxn→>Bx0=y,R(B)是闭的,所以R(/-A) 是闭的 引理3设X为 Banach空间,A∈B(X),则对应于A的不同特 征值的特征向量彼此线性无关 证明设A1…是A的互不相同的特征值,x12…xn是相应的特 征向量,x≠0,Ax=1x(=1…m).若x1;…,x线性相关,不失一般 性设x=∑叫ax,则一方面 (4-4)…(--A)xn=(4/-A)…(n-1xn-Axn) =(41-A)…(-2-A)xn(元n-1-n) (1-)…(-1-元)xn≠0 另一方面,它们是可交换的,从而 (41-4)…(n1-A)xn=∑a(4l-4)…(I-A)x=0 矛盾.由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关,故结论成立 定理1设X是 Banach空间,A∈C(X),则 (1)A的非零谱点都是特征值 (2)σ(A)是可数集,0是o(4)惟一可能的聚点 (3)若dimX=∞,则0∈o(A) (4)对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的
3 0 ( ). k n k λx xn → →∞ 于是一方面由 B 的连续性， 0 lim 0. k k n n Bx Bx λ →∞ = = 另一方面， 0 || || lim || || | | 0, k k n n x x λ λ →∞ = =≠ 矛盾说明 a 是存在的. 若 n y 是 R( ) B 中的 Cauchy 序列，不妨设 , , n nn y Bx x M = ∈ 则 || || m n y y − || ( ) || || ||, B mn mn = x x ax x −≥ − { }n x 是 M 中 的 Cauchy 序 列 ， M 闭，故存在 0 0 , . n x ∈ Mx x → 令 0 0 y Bx = , 则 0 00 ( ), . ( ) n y R B Bx Bx y R B ∈ →= 是闭的，所以 R( ) λI A − 是闭的. 引理 3 设 X 为 Banach 空间， A∈B( ), X 则对应于 A 的不同特 征值的特征向量彼此线性无关. 证明 设 1, λ λn ⋅⋅⋅ 是 A 的互不相同的特征值， 1, , n x ⋅⋅⋅ x 是相应的特 征向量， 0, ( 1, ). i i ii x ≠ = = ⋅⋅⋅ Ax x i n λ 若 1, , n x ⋅⋅⋅ x 线性相关，不失一般 性设 1 1 n n ii i x a x − = =∑ ，则一方面 11 11 ( )( ) ( )( ) n n nn n λ I − ⋅⋅⋅ − = − ⋅⋅⋅ − A I A x I A x Ax λ λλ − − 1 21 ( ) ( )( ) n nn n = λ I A I Ax − ⋅⋅⋅ − − λ λλ − − = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 1 ( )( ) 0 n n nn λ λ λλ x = − ⋅⋅⋅ − ≠ − 另一方面，它们是可交换的，从而 1 1 ( )( ) n n λ I − A I Ax λ − ⋅⋅⋅ − 1 1 1 1 ( ) ( ) 0, n i ni i a I A I Ax λ λ − − = = ∑ − ⋅⋅⋅ − = 矛盾. 由于任意有限多个这样的特征向量都线性无关，故结论成立. 定理 1 设 X 是 Banach 空间， A∈C X( ), 则 （1） A 的非零谱点都是特征值. （2） σ ( ) A 是可数集，0 是 σ ( ) A 惟一可能的聚点. (3) 若 dim , X = ∞ 则 0 ( ). ∈σ A (4) 对应于每个非零特征值的特征向量空间是有限维的
证明1°我们证明当λ≠0时,若AI-A是一一映射,则 是到上的.由逆算子定理(-A)∈B(X),于是A∈p(A),便得到 令T=-A,对于任意正整数n A"-Cn-A+…+(-1)”CnA 2" -B 其中B是A与一个有界线性算子的乘积.由第三章§3知,B是紧算 根据引理2,R(T")=R("-B)是X的闭线性子空间,显然 R(Tm)cR(T")n=1,2,…)如果n,R(Tm)都是R(T")的真子空 间,由 Riesz引理,存在yn∈R(”),使得 Iy. l=1, P, R(T)) 注意T(R(T")cR(T),所以Tn=4yn-4yn∈R(Tm)记 Ty =Ay-Ay =T ∈X 若m 则 yn∈R(Tm)cR(T"),mmx∈R(Tm)cR(r) RoT 于是 ‖4yn-4yn‖=(yn-1yn)-(7mx0-7mx)川 =A‖yn-(y ≥|A|p(ynR(T)
4 证明 1 D 我 们 证 明 当 λ ≠ 0 时 , 若 λI A − 是一一映射，则 λI A − 是到上的. 由逆算子定理 1 ( ) () λI A X − − ∈B ，于是 λ ∈ ρ( ) A ，便得到 （1）. 令 T IA = λ − ，对于任意正整数 n, ( ) n n T IA = − λ 1 1 ( 1) n n n nn n n λ λ I C A CA − = − +⋅⋅⋅+ − n = − λ I B 其中 B 是 A 与一个有界线性算子的乘积. 由第三章§3 知， B 是紧算 子， 根据引理 2， () ( ) n n R T R IB = λ − 是 X 的闭线性子空间，显然 1 ( ) ( )( 1,2, ). n n RT RT n + ⊂ = ⋅⋅⋅ 如果 1 ,( ) n nRT + ∀ 都 是 ( ) n R T 的真子空 间，由 Riesz 引理，存在 ( ), n n y RT ∈ 使得 1 1 || || 1, ( , ( )) . 2 n n n y y RT ρ + = ≥ 注意 1 ( ( )) ( ), n n T RT RT + ⊂ 所以 1 ( ). n Ty y Ay R T n nn λ + = −∈ 记 1 0 , n n n λ y Ay T x + − = 1' ' 0 00 ,, . m Ty y Ay T x x x X m mm λ + =−= ∈ 若 m n > ，则 1 1' 1 1 0 ( ) ( ), ( ) ( ), m nm m n my RT RT T x RT RT ++ + + ∈⊂ ∈ ⊂ 1 1 0 ( ). n n T x RT + + ∈ 于是 1 1' 0 0 || || || ( ) ( ) || n m A nm nm y Ay y y T x T x λ λ + + − = −− − ' 1 1 0 0 | ||| ( ) || n m n m x x λ y yT T λ λ + + = −+ − 1 | | ( , ( )) n n λ ρ y RT + ≥ | | 0. 2 λ ≥ >
这与A的紧性矛盾,于是存在n,R(T)=R(T-) 由于T是一一的,Vy∈R(T-),y∈R(T)=R(T%+).不妨设 7(T"x),x∈X,则y=7"x∈R(T"), R(T%-)cR(T),R(T"-)=R(T)继续这一过程最后得到 R(T)=X.T是到上的 2°我们证明,对于任意的t>0, {2:λ∈o(A),||t} 是有限集.若不然,由T知,存在互不相同的一列∈G(A)4卜t λn是A的特征值.不妨设xn是相应的特征向量 xn≠0,Axn=nxn(mn=1,2,…).由引理3,{xn}是线性无关集,记 Mn=spmn{x,…xn},则 dim M=n.Mn是闭子空间并且 Mn-1∈Mn,Mn1≠Mn由 Riesz引理,存在 yn∈Mn,‖yn‖1,p(yn,M21) 不妨设y=∑anx,则 Anyn -Ay=a(a, I-A)x+2an(a,I-A)x ∑an(n-1)x 为简便起见,记y一4yn=二n1·类似地,记 Am -Ay 若m>n,则 Mm1,yn∈Mn∈Mn Aym -Ay, l (am -,y,)-(= =元n‖yn-(yn+-m1--n1)‖ 2Ln1p(yn,Mn1)≥>0 与A的紧性矛盾.故{:∈(A)A|}为有限集,t>0是任意的
5 这与 A 的紧性矛盾，于是存在 0 0 1 0 , ( ) ( ). n n n RT RT + = 由于 T 是一一的， 0 00 1 1 ( ), ( ) ( ). n nn y R T Ty R T R T − + ∀∈ ∈ = 不妨设 0 n 1 Ty T x + = 0 ( ), , n = ∈ TT x x X 则 0 0 ( ), n n y T x RT = ∈ 从 而 0 0 1 ( ) ( ), n n RT RT − ⊂ 0 0 1 ( ) ( ). n n RT RT − = 继续这一过程最后得到 R( ) T X = . T 是到上的. 2D 我们证明，对于任意的 t > 0, { : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 是有限集. 若不然，由 1 D 知，存在互不相同的一列 ( ),| | λn ∈σ λ A t > , λn 是 A 的 特 征 值 . 不 妨 设 n x 是相应的特征向量， 0, ( 1, 2, ). n n nn x Ax x n ≠ = = ⋅⋅⋅ λ 由引理 3， { }n x 是线性无关集，记 1 {, } Mn n = ⋅⋅⋅ span x x ， 则 dim . Mn = n Mn 是闭子空间并且 1 1 , Mn nn n − − ⊂ ≠ MM M . 由 Riesz 引理，存在 1 1 , || || 1, ( , ) 2 ( 2,3, ). n n n nn y M y yM n ρ − ∈ = ≥ = ⋅⋅⋅ − 不妨设 1 , n n in i i y x α= = ∑ 则 1 1 () () n n n n nn n n in n i i λ α λ αλ y Ay I A x I A x − = −= − + − ∑ 1 1 1 () . n in n i i n i αλ λ x M − − = = −∈ ∑ 为简便起见，记 nn n n 1 λ y Ay z − = − . 类似地，记 11 1 , . mm m m m m λ y Ay z z M −= ∈ − − − 若 m n > ，则 11 1 1 , n n mn n m z M M yM M −− − − ∈ ⊂ ∈⊂ ， 1 1 || || || ( ) ( ) || Ay Ay y y z z m n mm nn m n −= − −− λ λ − − 1 1 | ||| ( ) || n mn mm n m mm z z y y λ λ λ λλ − − = − +− 1 | | | | ( , ) 0. 2 m mm t ≥ ≥> λ ρ y M − 与 A 的紧性矛盾. 故{ : ( ),| | } λ λσ λ ∈ A > t 为有限集， t > 0是任意的