第14讲凸集的隔离定理 教学目的 介绍凸集的隔离定理及其应用 授课要点 1、超平面的分析表达 2、 Minkowski泛函的定义及属性。 般隔离定理的证明。 4、紧凸集的严格隔离定理 5、 Helly的第一、第二矩量定理 凸集的隔离定理又称为Hahn- Banach定理的几何形式,它在规 划论,控制论与 Banach空间几何理论上有重要的应用。 首先让我们考虑平面上的情况 设A,B是平面R2上两个不相交凸集 则一定可以用一条直线将二者隔离开 来,即存在直线l:ax1+bx2=c,使 得对于A中的每个点(x1,x2) B ax+bx≤c,对于B中每个点 (x,x2),∝x+bx2≥C.(见图) 对于一般线性空间中的凸集,我们有理由提出类似的问题.但是 有两个更基本的问题需要解决:用什么将一般线性空间的凸集隔开? 怎样才算将两个凸集隔开? 定义1设X是线性空间,ECX是某个集合 (1)称E是线性流形,若E=x+M,其中x∈X,M是X 的某个线性子空间
1 第 14 讲 凸集的隔离定理 教学目的 介绍凸集的隔离定理及其应用。 授课要点 1、 超平面的分析表达。 2、 Minkowski 泛函的定义及属性。 3、 一般隔离定理的证明。 4、 紧凸集的严格隔离定理。 5、 Helly 的第一、第二矩量定理。 凸集的隔离定理又称为 Hahn－Banach 定理的几何形式，它在规 划论，控制论与 Banach 空间几何理论上有重要的应用。 首先让我们考虑平面上的情况， 设 A, B 是平面 2 R 上两个不相交凸集， 则一定可以用一条直线将二者隔离开 来，即存在直线 1 2 l ax bx c : + = ，使 得对于 A 中的每个点 ( ) 1 2 x , x ， 1 2 ax bx c + ≤ ，对于 B 中每个点 ( ) 1 2 x , x ， 1 2 ax bx c + ≥ .（见图） 对于一般线性空间中的凸集，我们有理由提出类似的问题. 但是 有两个更基本的问题需要解决：用什么将一般线性空间的凸集隔开？ 怎样才算将两个凸集隔开？ 定义 1 设 X 是线性空间， E X ⊂ 是某个集合. （1） 称 E 是线性流形，若 Ex M = 0 + ，其中 0 x ∈ X ， M 是 X 的某个线性子空间
(2)称E是X的极大真子空间,若对于X的任一线性子空间 M,当EcM,E≠M时,M=X (3)称E为X的超平面,若E=x+M,其中x0∈X,M是 X的极大真子空间 X上的线性泛函全体记为X(X中元不必连续),显然就点集 的包含关系来讲,XcX.有时称X为X的代数共轭,称X为X 的拓扑共轭 定理1(1)E是X的极大真子空间当且仅当存在∫∈X ∫≠0,E=N(f),N()是∫的0空间 (2)E是X的超平面当且仅当存在∫∈X,f≠0, E={xf(x)=c},其中c是某个常数 证明若f∈X",∫≠0,考虑子空间N()={x,f(x)=0 若是线性子空间并且N()cW,N(f)≠W,取x∈\N(), 显然f(x)≠0·x∈x,令y=xf(x)x,则f(x)=0 y∈N(∫),x=y+ f(x) x,从而X=span{x,N(O)<W,即 0 W=X.N()是极大真子空间 反之,若E是极大真子空间,取xEE,则X=span{x,E} yx∈X,x=x1+ax,其中x1∈E,a∈Φ,此表达式是唯一的.定 义f(x)=a,若x=x+ax0,显然E=N() 2若E是超平面,则E=x+M,W是极大真子空间,由1°
2 （2） 称 E 是 X 的极大真子空间，若对于 X 的任一线性子空间 M ，当 E ⊂ M ， E ≠ M 时， M = X . （3） 称 E 为 X 的超平面，若 Ex M = 0 + ，其中 0 x ∈ X ， M 是 X 的极大真子空间. X 上的线性泛函全体记为 X′ （ X ′ 中元不必连续），显然就点集 的包含关系来讲， X X ∗ ⊂ ′ . 有时称 X ′ 为 X 的代数共轭，称 X ∗ 为 X 的拓扑共轭. 定理 1 （1） E 是 X 的极大真子空间当且仅当存在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0， E = N f ( ) ， N f ( ) 是 f 的 0 空间. （ 2 ） E 是 X 的超平面当且仅当存在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0 ， E xf x c = = { ; ( ) } ，其中 c 是某个常数. 证明 1 D 若 f ∈ X ′ ， f ≠ 0，考虑子空间 N f xf x ( ) () = { ; 0 = } ， 若W 是线性子空间并且 N f WN f W ( ) ⊂ ≠ , ( ) ，取 x0 ∈WNf \ ( ) ， 显 然 ( ) 0 f x ≠ 0 。 ∀ x∈ X ， 令 ( ) ( ) 0 0 f x yx x f x = − ， 则 f y( ) = 0 ， y Nf ∈ ( ) ， ( ) ( ) 0 0 f x x y x f x = + ，从而 X = span {x0 , Nf W ( )} ⊂ ，即 W X = . N f ( ) 是极大真子空间. 反之，若 E 是极大真子空间，取 0 x ∉ E ， 则 X = span {x0 , E} . ∀ x∈ X ， 1 0 x = + x ax ，其中 1 x ∈ E ， a ∈Φ ，此表达式是唯一的. 定 义 f ( ) x a = ，若 1 0 x = + x ax ，显然 E = N f ( ). 2D 若 E 是超平面，则 Ex M = 0 + ，W 是极大真子空间，由1 D
存在∫∈x,∫≠0,W=N(),从而x∈E当且仅当 ∫(x)=f(x)=c或E={xf(x)=c}, 若E={xf(x)=c},∫∈X',∫≠0,任取x∈E,则f(x)=c, 令y=x-x,则∫(y)=0.由1,N()是极大真子空间 E=x+N(f),E是超平面 定理2设X是线性赋范空间,EcX是极大真子空间,f∈X, ∫≠0,E与∫的关系如同定理1,则 (1)E是闭的当且仅当f∈X", (2)E是闭的当且仅当E不在X中稠密 证明由于E=N(),全部结论可由本章第1讲定理1得出 通常称实空间X的子集在超平面E={x,f(x)=}的一侧,若 Ac{xf(x)≤}或Ac{xf(x)≥d},称两个子集AB被超平面E 隔离,若A,B分属于E的两侧,称A,B被E严格隔离,若 A∈{xf(x)<a},Bc{xf(x)>q}或者相反 前面在证明Hahn- Banach延拓定理时,我们事先假定X上存在 某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理,我们将要从 满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来 定理3设X是线性赋范空间,ACX是以0为内点的凸集,定 义4(x)=inf{t>0,x∈tA,则
3 存 在 f ∈ X ′ ， f ≠ 0 ， W Nf = ( ) ，从而 x∈ E 当且仅当 f ( ) x fx c = = ( 0 ) 或 E xf x c = = { ; ( ) } ， 若 E xf x c = = { ; ( ) } ，f ∈ X ′ ，f ≠ 0，任取 0 x ∈ E ，则 ( ) 0 f x c = ， 令 0 y xx = − ， 则 f y( ) = 0 . 由 1 D ， N f ( ) 是极大真子空间， E x Nf = +0 ( )， E 是超平面. 定理 2 设 X 是线性赋范空间，E X ⊂ 是极大真子空间，f ∈ X ′ ， f ≠ 0， E 与 f 的关系如同定理 1，则 （1） E 是闭的当且仅当 f X ∗ ∈ ， （2） E 是闭的当且仅当 E 不在 X 中稠密. 证明 由于 E Nf = ( ) ，全部结论可由本章第 1 讲定理 1 得出. 通常称实空间 X 的子集在超平面 E = {xf x a ; ( ) = } 的一侧，若 A xf x a ⊂ ≤ { ; ( ) } 或 A xf x a ⊂ ≥ { ; ( ) } ，称两个子集 A B, 被超平面 E 隔离，若 A B, 分属于 E 的两侧，称 A B, 被 E 严格隔离，若 A ⊂ {xf x a ; ( )＜ } ， B ⊂ {xf x a ; ( )＞ } 或者相反. 前面在证明 Hahn－Banach 延拓定理时，我们事先假定 X 上存在 某个正齐性次可加泛函。现在为了证明凸集的隔离定理，我们将要从 满足一定条件的凸集上产生出这种泛函来. 定理 3 设 X 是线性赋范空间， A X ⊂ 是以 0 为内点的凸集，定 义 µ A () { x = ∈ inf 0; t x tA ＞ }，则
(1)4在整个X上有定义 (2)若t20,H4(x)=1(x),Wx∈x (3)H4(x+y)=4(x)+(y),Vxy∈x; (4){x,H4(x)<l}cAc{x,H(x)≤1}若A是开集,则 A={x(x)<1 (1),(2),(3)说明H4是X上的正齐性次可加泛函.我们称H4是集 合A的 Minowski泛函 证明1°对于每个x∈X,x>0,A是0∈X的领域,故存在 n,fcA,即x∈nA,所以集合{>0,x∈r4≠⑦,H1(x)有意 2°由于x∈rA当且仅当tr∈trA,故 tu,()=inf (r; xE rA=inf(tr; xE) =inf{r,x∈m4}=4(ax) 3设r,s>0.,若x∈rA,y∈sA,即x∈A,卫∈A,A是凸集, 故 r+s r+s rr+s ∈A,即x+y∈(r+s)A.从而 H4(x+y)≤r+s,r与s是任意的故H4(x+y)≤4(x)+4(y) 由H4的定义容易得到(4)中包含关系成立,例如若 H4(x)<1,则存在r,0<r<1,x∈n4或∈A,A是凸集,0∈A
4 （1） µ A 在整个 X 上有定义； （2） 若 t ≥ 0 ， µ µ A A (tx t x ) = ( ) ， ∀x∈ X ； （3） µ µµ A AA ( ) x += + yxy ( ) ( ) ， ∀x, y X ∈ ； （4） {x x Ax x ; ; µ µ A A ( )＜1 1 } ⊂⊂ ≤ { ( ) } . 若 A 是开集，则 Ax x = { ;µ A ( )＜1} . （1），（2），（3）说明 µ A 是 X 上的正齐性次可加泛函. 我们称 µ A 是集 合 A 的 Minowski 泛函. 证明 1 D 对于每个 x∈ X ， 0 x n → ， AD 是 0∈ X 的领域，故存在 0 0 , x n AA n ⊂D ，即 0 x∈n A，所以集合 {r x rA ＞0; ∈ } ≠ ∅ ， µ A ( ) x 有意 义. 2D 由于 x∈rA当且仅当 tx trA ∈ ，故 t x t r x rA tr x rA µ A () { = ∈= ∈ inf ; inf ; } { } = ∈= inf ; {tr tx trA tx } µ A ( ). 3D 设 r s, 0, > 若 x∈rA，y sA ∈ ， 即 x A r ∈ ， y A s ∈ ，A 是凸集， 故 xy r x s y A r s r sr r ss + = + ∈ ++ + i i ， 即 x +∈ + y r sA ( ) . 从 而 µ A ( ) x + ≤+ y rs ， r 与 s 是任意的. 故 µ µµ A AA ( x +≤ + yxy ) ( ) (). 4D 由 µ A 的定义容易得到（ 4 ）中包含关系成立 . 例如若 µ A ( ) x ＜1，则存在 r ，0＜ ＜1 r ，x∈rA或 x A r ∈ ， A 是凸集，0∈ A
从而x=(1-)0+∈A,故{xA(x)<cA.现在设A是开集, 若x∈A 定有>0使得(1+E)x∈A或x∈,A,从而 n1()s1+g1,故4c{xA(x)<1于是A=(xp1() 定理4设X是(实或复)线性赋范空间,A,B是X中的非空凸 集,A≠,A∩B=②.则存在非零线性泛函∫∈X”和实数r使得 Acr;Re(r)<r,Bc; Ref(x)2r) 其中Ref(x)表示∫(x)的实部 证明不妨设0∈A,因为若∫,r满足上面条件,则Vx∈X xo+Acr, Ref(x)<Ref(o)+r) x+Bc{xRef(x)≥Re∫(x)+ 特别地取x0∈A并且考虑A-x,则至多改变r的值,结论仍然成立 我们只须就实空间的情况证明之,因为由第16讲定理2前面的说 明,复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部, 此时复泛函连续当且仅当它的实部连续 现在考虑集合C=A+x0-B,其中x∈B,则C是开凸集并且 由于A≠,0∈C.此外xC,否则0∈A-B从而得出 A°∩B=,与假设矛盾 设山C是集合C的 Minkowski泛函.由定理3,c是在整个空间X 上有定义的次可加正齐性泛函,并且C={xH(x)<1},由于xEC 故(x)≥1
5 从而 ( ) 1 0 x x rr A r =− + ∈ i ，故 {x;µ A ( x A )＜1} ⊂ . 现在设 A 是开集， 若 x∈ A ，一定有 ε＞0 使 得 (1+ ε ) x∈ A 或 1 1 x A ε ∈ + ，从而 ( ) 1 1 A µ x ε ≤ + ＜1，故 Ax x ⊂ { ;µ A ( )＜1} . 于是 Ax x = { ;µ A ( )＜1} . 定理 4 设 X 是（实或复）线性赋范空间， A, B 是 X 中的非空凸 集， A ≠ ∅ D ， A B = ∅ D ∩ . 则存在非零线性泛函 f X ∗ ∈ 和实数 r 使得 A x fx r ⊂ ≤ { ;Re ( ) }， B ⊂ ≥ {x fx r ;Re ( ) } 其中 Re f ( x) 表示 f ( ) x 的实部. 证 明 不妨设 0∈ AD ，因为若 f ,r 满足上面条件，则 0 ∀x ∈ X x0 0 +⊂ ≤ + A x fx fx r { ;Re Re ( ) ( ) } ， x0 0 +⊂ ≥ + B x fx fx r { ;Re Re ( ) ( ) } . 特别地取 0 x ∈ AD 并且考虑 A x − 0 ，则至多改变 r 的值，结论仍然成立. 我们只须就实空间的情况证明之，因为由第 16 讲定理 2 前面的说 明，复空间上的一个实泛函决定了唯一的复泛函并且成为它的实部， 此时复泛函连续当且仅当它的实部连续. 现在考虑集合 CA x B = +−0 D ，其中 0 x ∈ B ，则 C 是开凸集并且 由 于 A ≠ ∅ D ， 0∈C . 此 外 0 x ∉C ，否则 0∈ A B−D 从而得出 A B = ∅ D ∩ ，与假设矛盾. 设 µC 是集合 C 的 Minkowski 泛函. 由定理 3，µ C 是在整个空间 X 上有定义的次可加正齐性泛函，并且 Cx x = { ;µC ( )＜1}，由于 0 x ∉C ， 故 ( ) 0 1 C µ x ≥