第24讲自伴算子的谱论 教学目的:掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点 伴算子数值值域的特征 2自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系 3紧自伴算子的投影算子分解 本节我们讨论复 Hilbert空间上的自伴算子 定理1若H是 Hilbert空间,A∈B(H),A是A的共轭算子 则 p(A)={:A∈p(A)} (A)={:A∈a(A)} (5-3-1) (2)若x是A的相应于A的特征向量,y是A的相应于p的特 征向量,A≠,则x⊥y 证明1°只须证明第一式,若A∈p(A),A-A为正则算子,此 时(-A)=I-A正则,故∈p(A),{:A∈p(A)}cp(A) 但(A')=A,于是{:λ∈p(')}cp(4")=p(A),两端取复共轭 得到p(A)c{A:A∈p(A)},从而得到等式 2°若(-A)x=0,(d-A')y=0,x≠0,y≠0, a(x, y)=(x, y)=(Ax, y)=(x, A'y) =(x,0y)=m(x,y) 于是(-)(x,y)=0,≠,故(x,y)=0.从而x⊥y 定理2设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子
1 第 24 讲 自伴算子的谱论 教学目的：掌握自伴算子谱的特征。 讲解要点： 1 自伴算子数值值域的特征。 2 自伴算子构成的算子方程与共轭算子构成的算子 方程解的关系。 3 紧自伴算子的投影算子分解。 本节我们讨论复 Hilbert 空间上的自伴算子. 定理 1 若 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) ， * A 是 A 的共轭算子， 则 (1) ( ) { : ( )} * ρ A = λ λ ∈ ρ A ， ( ) { : ( )} * σ A = λ λ ∈σ A （5-3-1） (2) 若 x 是 A 的相应于 λ 的特征向量，y 是 * A 的相应于 µ 的特 征向量， λ ≠ µ ,则 x ⊥ y . 证明 D 1 只须证明第一式，若 λ ∈ ρ(A) ， λI − A为正则算子，此 时 * ( ) λI − A = * λ I − A 正则， 故 ( ) * λ ∈ ρ A ， * { : ( )} ( ) λλ ρ ρ ∈ ⊂ A A . 但 A = A * * ( ) ，于是 { : ( )} ( ) ( ) * ** λ λ ∈ ρ A ⊂ ρ A = ρ A ，两端取复共轭 得到 ( ) { : ( )} * ρ A ⊂ λ λ ∈ ρ A ，从而得到等式. D 2 若 (λI − A)x = 0 , ( ) 0 * µI − A y = ， x ≠ 0 ， y ≠ 0，则 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) * λ x y = λx λy = Ax y = x A y = (x,µy) = µ(x, y). 于是 (λ − µ)(x, y) = 0， λ ≠ µ ，故 (x, y) = 0 . 从而 x ⊥ y . 定理 2 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子
(1)A的谱点都是实数,特别地A的特征值都是实数 (2)对应于不同特征值的特征向量彼此正交 (3)G(A)=∞. 证明1°VA∈C,x∈X,由自伴性, (-A)x,x)-(x、(-A)x)=4|x-(Ax,x)-元|+(x,Ax) =2i lma 这里Imλ是A的虚部.于是 2|ml|≤(/-A)x,x)+(x1(-A)x)≤2(a-)x 或者 K-4)x≥|mx 由此知当Im≠0时A-A是一一的.此外令(-A)x=y,则 (aI-A)ysIm ip'ilblIl (I-A)是有界的.此时AⅠ-A的共轭-A也是一一的,由第四 章§3定理6R(AI-A)=H.根据(4I-A)的有界性 R(Ⅰ-A)=H.于是M-A是正则的.矛盾即说明ImA=0 O(ACR 2A是自伴算子,A=A,若x,y是相应于4,的特征向量, 由1°,,p为实数,≠,既是A≠μ,由定理1(2)即得到所要的 结论 3°若A∈σ,(A),由1°,λ是实数,从而(/-A)*=A-A,由 于R(AI-A)≠H,由第四章§3定理6, N(AI-A)=R(I-A)≠{0} 于是A∈n(A),矛盾 为了更精细地考察自伴算子谱点的特性,我们引进下面概念 定义设H为 Hilbert空间,A∈B(H),称集合 O(A)={(Ax,x):x∈H,‖x|=1} (5-3-2)
2 (1) A 的谱点都是实数,特别地 A 的特征值都是实数. (2) 对应于不同特征值的特征向量彼此正交. (3) () . σ r A = ∅ 证明 D 1 ∀ ∈λ C , x∈ X , 由自伴性, 2 2 2 (( ) , ) ( ,( ) ) ( , ) ( , ) 2 Im I A x x x I A x x Ax x x x Ax i x λ λλ λ λ − − −= − − + = 这里 Imλ 是 λ 的虚部. 于是 2 2 Im (( ) , ) ( ,( ) ) 2 ( ) λλ λ λ x ≤− + − ≤ − I Axx x I Ax I Ax x 或者 ( ) Im . λ λ I − ≥ Ax x 由此知当 Im 0 λ ≠ 时 λI − A是一一的. 此外令 ( ) λI − Ax y = , 则 1 1 ( ) Im λ λ I Ay y − − − ≤ , 1 ( ) λI A − − 是有界的. 此时 λI − A 的共轭 λI − A 也是一一的, 由第四 章 § 3 定 理 6 R( ). λIA H − = 根 据 1 ( ) λI A − − 的有界性 , R( ). λIA H − = 于 是 λI − A 是正则的 . 矛盾即说明 Im 0 λ = , σ () . A R ⊂ D 2 A 是自伴算子， A = A * ，若 x, y 是相应于 λ,µ 的特征向量， 由 D 1 ， λ,µ 为实数， λ ≠ µ ，既是 λ ≠ µ . 由定理 1(2)即得到所要的 结论. 3D 若 ( ), λ ∈σ r A 由 D 1 , λ 是实数, 从而 ( )* λI − A IA = − λ . 由 于 R( ) λIA H − ≠ ,由第四章§3 定理 6, NIA ( ) λ − = RIA ( ) {0}, λ ⊥ − ≠ 于是 ( ), λ ∈σ p A 矛盾. 为了更精细地考察自伴算子谱点的特性，我们引进下面概念. 定义 设 H 为 Hilbert 空间， A∈ Β(H) ，称集合 ω(A) = {(Ax, x) : x ∈ H,|| x ||= 1} （5-3-2）
为A的数值值域.称R4=Sup|川为算子A的数值半径 定理3设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 (1)(A)co(A),特别地a(A),O(A)都由实数构成 (2) sup lul‖A‖l 证明 注意(Ax,x)是实数,我们证明若A∈o(A),则 A∈a(A).设d=p(,O(A)=inf|-4|,则d>0.Vx∈H,x≠0 Heo(A) 时 d|xs2-(4( =|A(x,x)-(Ax,x) =|(I-A)x,x) ≤‖(I-A)x|xll 于是 dx|-‖(a-A)xl‖ (5-3-3) 若yn∈R(a-A),y→>y.不妨设yn=(M/-A)xn,这里 xn∈X.由式(5-3-3){xn}是 Cauchy序列,H完备,不妨设xn→>x 由M-A的连续性得到y=(-A)x0,故y0∈R(M-A),R(M-A) 是闭子空间 A/-A是到上的若不然由Rese表现定理,存在y∈H,py=1使 得Vx∈H,(-A)x,y)=0.特别地,(I-A)y,y)=0,于是 ==(4,y)∈(A 与所设矛盾.于是A-A既是一一的,又是到上的,由逆算子定理 (-A)是有界的.所以A∈p(A).(1)成立 2°VH∈o(A),存在x∈H,‖xl=1,μ=(Ax,x).于是 山1=1(4xx)4x=4, 故supl4图‖A‖l
3 为 A 的数值值域. 称 sup | | ( ) µ µ ω A RA ∈ = 为算子 A 的数值半径. 定理 3 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 (1) σ (A) ⊂ ω(A) ，特别地 σ (A)， ω(A)都由实数构成. (2) sup | | || || ( ) A A = ∈ µ µ ω . 证 明 D 1 注 意 ( ,) Ax x 是实数 , 我们证明若 λ ω∈ ( ) A ， 则 λ σ ∈ ( ) A . 设 ( , ( )) inf | | ( ) ρ λ ω λ µ µ ω = = − ∈ A d A ，则 d > 0 . ∀x ∈ H ，x ≠ 0 时 2 2 ) || || || || ), || || || || ( ( x x x x x d x ≤ λ − A = | ( , ) ( , )| λ x x Ax x − = | (( ) , ) | λI − Axx ≤ || ( ) |||| || λI − Ax x . 于是 d || x ||≤|| (λI − A)x || （5-3-3） 若 y R( I A) n ∈ λ − ， n 0 y y → . 不妨设 n n y = (λI − A)x ，这里 xn ∈ X . 由式（5-3-3）{ }n x 是 Cauchy 序列，H 完备，不妨设 n 0 x → x . 由 λI − A的连续性得到 0 0 y = (λI − A)x ，故 ( ) y0 ∈ R λI − A ，R(λI − A) 是闭子空间. λI − A是到上的. 若不然由 Riese 表现定理, 存在 y Hy ∈ , 1 = 使 得 ∀ ∈x H , (( ) , ) 0 λI Axy − = . 特别地, (( ) , ) 0 λI Ayy − = , 于是 2 λλ ω == ∈ y Ay y A ( , ) ( ), 与所设矛盾 . 于 是 λI − A 既是一一的 ,又是到上的 , 由逆算子定理 , 1 ( ) λI A − − 是有界的. 所以 λ ∈ ρ( ). A (1)成立. D 2 ∀µ ∈ω(A) , 存在 x ∈ H ， || x ||= 1， µ = (Ax, x). 于是 2 | | |( , )| µ = ≤= Ax x A x A ， 故 sup | | || || ( ) A A ≤ ∈ µ µ ω
另一方面,设a=Sup|,则|(Ax,x)≤alx2由极化恒等式 4Re(Ax,y)=(A(x+y),x+y)-(4(x-y),x-y) 14Re(Ax,y)|sl(A(x+y),x+y)|+|(4(x-y),x-y) x+y|2+a‖-y|2 2a(lx2+‖y|2) 后者利用了内积空间的平行四边形公式 若Ax≠0,取‖x|=1,y Ax I Ax =(Ax l‖Ax )=Re(Ax Axl‖l (x2 )=a lAx‖ 当Ax=0时,此式自然成立,故‖A|a= sup l 定理得证 定理4设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子,则 M ,n∈ 其中 sup u, m= inf u 证明这里仅证明M∈o(A),对于m∈a(A)可类似证之 设B=M-A,则 (Bx, x)=M(x, x)-(Ax, x), VxE H 根据M的定义,显然(Bx,x)≥0并且 现在,若t是任一实数,则 (B(Bx+x),tBx+x)≥0
4 另一方面，设 sup | | ( ) µ µ ω A a ∈ = ，则 2 | ( , ) | || || Ax x a x ≤ .由极化恒等式 知 4Re(Ax, y) = (A(x + y), x + y) − (A(x − y), x − y) 于是 | 4Re( , ) | | ( ( ), ) | | ( ( ), ) | Axy Ax y x y Ax y x y ≤ + ++ − − 2 2 ≤ a || x + y || +a || x − y || 2 (|| || || || ) 2 2 = a x + y . 后者利用了内积空间的平行四边形公式. 若 Ax ≠ 0 ,取 || x ||= 1, || Ax || Ax y = 则 || || ( , ) Re( , ) || || || || Ax Ax Ax Ax Ax Ax Ax = = a Ax Ax x a ≤ + ) = || || || || (|| || 2 2 2 2 当 Ax = 0 时，此式自然成立，故 || || sup | | ( ) µ µ ω A A a ∈ ≤ = . 定理得证. 定 理 4 设 H 是 Hilbert 空间， A∈ Β(H) 是自伴算子，则 M ,m ∈σ (A) , 其中 µ µ ω( ) sup A M ∈ = ， µ µ ω( ) inf A m ∈ = ， 证明 这里仅证明 M ∈σ (A) ，对于 m ∈σ (A)可类似证之. 设 B = MI − A，则 (Bx, x) = M (x, x) − (Ax, x) , ∀x ∈ H . 根据 M 的定义,显然 (Bx, x) ≥ 0并且 inf ( , ) 0 || || 1 = = Bx x x . (5-3-4) 现在,若 t 是任一实数, 则 (B(tBx + x),tBx + x) ≥ 0
t-(B x, Bx)+r(Bx, Bx)+t(Bx, x)+(Bx, x)20 由B的自伴性得到 t(B-x, Bx)+ 2t( Bx, Bx)+(Bx, x)20 各项系数均为实数,故 (Bx, Bx)2<(Bx, Bx)(Bx, x) (5-3-5) 于是 ‖Bx|=(Bx,Bx)2圳BPx|(Bx,x), 由(5-3-4) inf‖Bxl=0 (5-3-6) 若B是一一的并且到上的,由本章§1定理1,存在a>0,使得 vx∈H,‖Bx|叫l‖x.从而intf‖Bx|a>0,与(5-3-6)矛盾,故 M∈a(A) 推论设H是 Hilbert空间,A∈B(H)是自伴算子若r4是A 的谱半径,R4是A的数值半径,厂是AA的谱半径,则 R4引A‖ (2)r,引A|2 A 证明°实际上由定理4,max(M|m)≤sup|A|=r,故 p=max(M|mD)≤r4 但显然P4=Sup| ak sup I=R4.再由定理3得到 R4=A‖ 2°注意到A'A是自伴算子,由1得到 =AA|=A‖2 后一等式是根据第四章§3定理6(4) 例1设H是 Hilbert空间,E∈H是闭子空间,E≠{0},H.考
5 即 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 2 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + t B x x + Bx x ≥ 由 B 的自伴性得到 ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 2 2 t B x Bx + t Bx Bx + Bx x ≥ 各项系数均为实数,故 ( , ) ( , )( , ) 2 2 Bx Bx ≤ B x Bx Bx x (5-3-5) 于是 || || ( , ) || || || || | ( , ) | 4 2 3 2 Bx = Bx Bx ≤ B x Bx x , 由(5-3-4), inf || || 0 || || 1 = = Bx x (5-3-6) 若 B 是一一的并且到上的 , 由本章§1 定 理 1, 存 在 a > 0 , 使 得 ∀x ∈ H , || Bx ||≥ a || x || . 从 而 inf || || 0 || || 1 ≥ > = Bx a x , 与 (5-3-6) 矛 盾 , 故 M ∈σ (A) . 推 论 设 H 是 Hilbert 空间，A∈ Β(H) 是自伴算子. 若 Ar 是 A 的谱半径, RA 是 A 的数值半径, A A r * 是 A A * 的谱半径, 则 (1) r R || A || A = A = (2) 2 || || r * A A A = 证 明 D 1 实际上由定理 4, ( ) max( ,| |) sup | | A A M m r λ σ λ ∈ ≤ = , 故 A A A R = = M m ≤ r ∈ sup | | max(| |,| |) ( ) µ µ ω 但显然 A A A rA = ≤ = R ∈ ∈ sup | | sup | | ( ) ( ) λ µ λ σ µ ω . 再由定理 3 得 到 r R || A || A = A = . D 2 注意到 A A * 是自伴算子, 由 D 1 得到 * 2 || || || || r * A A A A A = = . 后一等式是根据第四章§3 定理 6(4). 例1 设 H 是 Hilbert 空间, E ⊂ H 是闭子空间, E ≠ {0}, . H 考