第4讲完备性与纲定理 教学目的:掌摄完备空间的概念,完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点: 1、完备性的定义和常见空间的完备性。 2、完备空间的基本性质。 纲的概念及初步应用。 完备化定理:任何度量空间都可以完备化 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy准则,即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy条件的.当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题,度 量空间也有序列的收敛概念,那么是否也有相应的 Cauchy准则呢?实际上只须看一下有理 数域Q的情况,其中的 Cauchy序列不一定都收敛于Q中的元,所以 Cauchy准则对于Q并 不成立.造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好,而在于空间中的点“不够多”, 以至于存在“孔洞 定义1设(X,d)是度量空间,xn∈X,n≥1 (1)若limd(xn,xn)=0,称{xn}为 Cauchy序列 (2)若X中的每个 Cauchy序列{xn}是收敛序列,即彐x∈X,使得limd(xn,x)=0, 则称X是完备的 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy序列,反之却未必 完备的线性赋范空间称为 Banach空间,完备的内积空间称为 Hilbert空间. 例1空间Pa,b]不完备 Pa,b]是区间[a,b上实(或复)系数多项式的全体.对于每个p∈Pa,b],定义 ‖p| maxp() 由定义可直接验证,P[a,b]是线性赋范空间,但Pa,b不是完备的.例如取 Pn()=1+
第 4 讲 完备性与纲定理 教学目的：掌握完备空间的概念，完备空间的基本性质并认识完备 性在分析中的重要意义。 授课要点： 1、 完备性的定义和常见空间的完备性。 2、 完备空间的基本性质。 3、 纲的概念及初步应用。 4、 完备化定理：任何度量空间都可以完备化。 在实数理论中我们知道著名的 Cauchy 准则，即实数序列是收敛的当且仅当它是满足 Cauchy 条件的．当我们把视线从实数域转到一般的度量空间时我们会提出类似的问题．度 量空间也有序列的收敛概念，那么是否也有相应的 Cauchy 准则呢? 实际上只须看一下有理 数域Q 的情况，其中的 Cauchy 序列不一定都收敛于Q 中的元，所以 Cauchy 准则对于Q 并 不成立．造成这一现象的原因并不是序列的分析性质不好，而在于空间中的点“不够多”， 以至于存在“孔洞”． 定义 1 设(X ,d) 是度量空间， xn ∈ X ， n ≥1． （1）若 lim ( , ) 0 , = →∞ m n m n d x x ，称{ }n x 为 Cauchy 序列． （2）若 X 中的每个 Cauchy 序列{ }n x 是收敛序列，即∃x∈ X ，使得lim ( , ) = 0 →∞ d x x n n ， 则称 X 是完备的． 由三角不等式容易得出每个收敛序列一定是 Cauchy 序列，反之却未必． 完备的线性赋范空间称为 Banach 空间，完备的内积空间称为 Hilbert 空间． 例 1 空间 P[a,b]不完备． P[a,b]是区间[a,b]上实（或复）系数多项式的全体．对于每个 p∈ P[a,b]，定义 || p || max | p(t) | a≤t≤b = ． 由定义可直接验证， P[a,b]是线性赋范空间，但 P[a,b]不是完备的．例如取 1! ! ( ) 1 n t t p t n n = + +"+
显然pn∈Pa,b].若记c=max{ab},则m>n Il pm-Pn ll=maxI p(1)-p(o) max> f=/I →0,m≥n→>∞ 故pn是 Cauchy序列. 我们知道 max Ipn()-e'Fmax/st\s C →0.n→∞. 但ePa,b].同时注意到,Pab]上的范数收敛相当于在[a,b]上的一致收敛,从而点点 收敛.于是极限函数是惟一的,pn不可能有其他极限,故Pab不完备 例2C[a,b]完备 设{xn}是Cab中的 Cauchy序列.VE>0,存在n0,当m,n≥n0时,‖ 时vt∈[a,b lxn()-xn(01)图‖xn-xn‖kE, (1) 于是{xn()}是 Cauchy数列.故vt∈[a,b]有x(m)使得 xn(1)→x(D) 在不等式(1)中固定n,令m→∞,则得到 x0(1)-xn(1)E,t∈[a,b (2) 现在取n≥n,由x(1)在[a,b]上的连续性,取>0,使得|41-t2kδ时 xn(1)-xn(2)kE,则 x(1)-x(2)|≤|x0(41)-xn(41)+|xn(41)-xn(12)+|xn(12)-x0(12)k3E 故x连续,即x∈CIab].不等式(2)中的不等式关于t∈[ab]是一致的,这说明 Ix, - ls 从而以Ca,b]中的范数 limx=x0 Ca,b是完备的 例3(≤p<∞完备
显然 p P[a,b] n ∈ . 若记c = max{| a |,| b |}，则∀m > n ， || p p || max | p (t) p (t)| m n a t b m − n = − ≤ ≤ ∑ ∑= + ≤ ≤ = + ≤ ≤ = ≤ m i n i a t b m i n i a t b i t i t 1 1 ! max ! max 1 0, . ! m i i n c m n i = + ≤ → ≥ →∞ ∑ 故 n p 是 Cauchy 序列． 我们知道 1 1 max | ( ) | max 0, . ! ! i i m t n aib aib in in t c pt e n i i ∞ ≤≤ ≤≤ =+ =+ − = ≤ → →∞ ∑ ∑ 但 e P[a,b] t ∈ ．同时注意到， P[a,b]上的范数收敛相当于在[a,b]上的一致收敛，从而点点 收敛．于是极限函数是惟一的， n p 不可能有其他极限，故 P[a,b]不完备． 例 2 ] C[a,b 完备． 设{ }n x 是C[a,b] 中的 Cauchy 序列．∀ε > 0 ，存在 0 n ，当 0 m,n ≥ n 时，|| − ||< ε m n x x ．此 时∀t ∈[a,b]， | ( ) − ( ) |≤|| − ||< ε m n m n x t x t x x ， （1） 于是{x (t)} n 是 Cauchy 数列．故∀ ∈t ab [,]有 ( ) 0 x t 使得 ( ) ( ) 0 x t x t n → ． 在不等式（1）中固定 n ，令 m → ∞ ，则得到 | ( ) − ( ) |≤ ε 0 x t x t n ，t ∈[a,b]． （2） 现在取 0 n ≥ n ， 由 x (t) n 在 [a,b] 上的连续性，取 δ > 0 ，使得 | t1 − t2 |< δ 时 | ( ) − ( )|< ε 1 2 x t x t n n ，则 01 02 01 1 1 2 2 02 | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| | ( ) ( )| 3 n nn n xt xt xt xt xt xt xt xt − ≤ − + − + −< ε ． 故 0 x 连续，即 [ , ] 0 x ∈C a b ．不等式（2）中的不等式关于 t ab ∈[,] 是一致的，这说明 || − ||≤ ε 0 x x n ， 从而以C[a,b] 中的范数 0 lim x x n n = →∞ ． C[a,b] 是完备的． 例 3 p L (1≤ p < ∞)完备．
设{n}是L中的 Cauchy序列.ⅤE>0,存在n,使得当m,n≥n0时 Ifm-J吧=1Jm0)-d<E 若>0,令Em(G)={t∫n()-fn(t)≥},则 a°H(Em(a)≤|Jm(0)-f(o)d ≤n(0-f、0)rd≤ 于是f在依测度收敛意义下是 Cauchy序列.由实变函数的知识,存在可测函数∫,使 得∫依测度收敛于∫ 根据 Riesz定理,有子序列{f}ae.收敛于f·现在我们证明依照L中的范数 f→∫·实际上,当n,≥m时 另一方面,固定n4,当n1→∞时 f2()-fn()|→)f()-fm(),ae. 由 Fatou引理, JoIS(- (Pdus lim Joln, ()-f,oPduse' (3) 故∫一∈L,L是线性空间,从而f=(f-fn)+fm∈D 不等式(3)还说明‖f-fl≤E(n≥n)·注意{n}是 Cauchy序列,只要n≥n, n≥n0 Jnf1斗f-fl+J-fl2<2E 故 limf,=∫ 证毕 L中序列的依范数收敛,通常称为p方平均收敛.由证明还可知道,p方平均收敛的 序列必定依测度收敛,反之则未必 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy序列找出一个“目标元”(在例2中 是x点点收敛的极限函数,在例3中是fn的依测度收敛的极限函数),而后验证此“目标元” 属于该空间,并且在空间度量意义下,该元是所给 Cauchy序列的极限. 思考题 验证空间L,P(1≤p≤∞),c0,c的完备性
设{ }n f 是 p L 中的 Cauchy 序列．∀ε > 0 ，存在 0 n ，使得当 0 mn n , ≥ 时 p p m n p m n p f f f t f t µ ε Ω − = − < ∫ || || | ( ) ( )| d ． 若σ > 0 ，令 E (σ ) ={t,| f (t) − f (t) |≥σ} mn m n ，则 σ µ σ µ σ ( ( )) | ( ) ( ) | d p E mn m n p E f t f t ∫ ≤ − p p m n f t f t µ ε Ω ≤ − < ∫ | ( ) ( ) | d ． 于是 n f 在依测度收敛意义下是 Cauchy 序列．由实变函数的知识，存在可测函数 f ，使 得 n f 依测度收敛于 f ． 根据 Riesz 定理，有子序列 { } nk f a.e. 收敛于 f ．现在我们证明依照 p L 中的范数 f f nk → ．实际上，当 0 n ,n n i k ≥ 时 p p ni nk p || f − f || < ε ． 另一方面，固定 k n ，当 ni → ∞ 时， p n p n n f t f t f t f t i k k | ( ) − ( ) | →| ( ) − ( )| ， a.e. 由 Fatou 引理， | ( ) ( ) | d lim | ( ) ( ) | d k ik i p pp n nn n ft f t f t f t µ µ ε Ω Ω →∞ −≤ −≤ ∫ ∫ ． （3） 故 p f f n L k − ∈ ， p L 是线性空间，从而 ( ) k k p n n f = ff f L − +∈ ． 不等式（3）还说明 − ≤ ε nk p || f f || ( ) 0 n n k ≥ ．注意{ }n f 是 Cauchy 序列，只要 0 n ≥ n ， 0 n n k ≥ ，则 || − || ≤|| − || + || − || < 2ε n p n n p n p f f f f f f k k ． 故 f f n n = →∞ lim ． 证毕． p L 中序列的依范数收敛，通常称为 p 方平均收敛．由证明还可知道， p 方平均收敛的 序列必定依测度收敛，反之则未必． 验证度量空间的完备性通常都要从给定的 Cauchy 序列找出一个“目标元”（在例 2 中 是 n x 点点收敛的极限函数，在例 3 中是 n f 的依测度收敛的极限函数），而后验证此“目标元” 属于该空间，并且在空间度量意义下，该元是所给 Cauchy 序列的极限． 思考题 验证空间 ∞ L ， p l (1≤ p ≤ ∞)， 0 c c , 的完备性．
在数学分析中我们知道,仅在有理数域中考虑极限运算会有不可想象的困难,这就是要 用实数域取代它的原因。由此想见,较之一般的度量空间,完备空间具有更为优良的性 质.下面让我们考察这方面的问题. 定理1设X是完备度量空间,FcX是一列非空递缩闭集,即FF1(m≥1)并且 diam→0,则∩F≠⑧ 证明取xn∈Fn,n≥1,由F=F知道xn∈F,Vm≥n.从而d(xn,x)≤damF→0 这说明{}是 Cauchy序列 X是完备的,故有x∈X, limx=x.已经知道xn∈Fn(m≥n),由于F是闭集,故 有x∈Fn(n≥1),或者x∈∩Fn 线性赋范空间x中的一个向量级数∑x称为是可和(收敛)的,若存在x∈X,使得 部分和序列,依X的范数收敛于x,Sn→S,此时记x=∑x·∑x称为绝对可和 的,若∑‖x‖<∞,与数值级数不同,一个绝对可和的向量级数可能不是可和的,见例1.下 面定理说明这个问题与空间的完备性有密切联系 定理2设X是线性赋范空间,X是完备的当且仅当其中任一绝对可和级数可和 证明若x完备,x∈X,∑‖x‖<∞·设sn=∑x,则 lsm-Sn|=∑x‖≤∑‖x1‖→0,(m,n→∞) 于是{sn}是 Cauchy序列.从而存在x∈X,sn→x,即x=∑x 反之,若X中任一绝对可知级数可和,{sn}是X中的 Cauchy序列.k≥1,取n4是 使‖sm-Sn|<(m≥n)成立的自然数,不妨设n4是递增的·令x=S (k≥2),则 ∑x‖Sn‖+∑‖Sn-S,‖纠sn‖+1<, 级数∑x绝对可和.由假设,存在x∈x,使得∑x=S→x.VE>0,存在n,使得 n≥n时,‖sn-xk三.另一方面,{sn}为 Cauchy序列,只要n足够大,当nn≥m时
在数学分析中我们知道，仅在有理数域中考虑极限运算会有不可想象的困难，这就是要 用实数域取代它的原因。 由此想见，较之一般的度量空间， 完备空间具有更为优良的性 质．下面让我们考察这方面的问题． 定理 1 设 X 是完备度量空间， Fn ⊂ X 是一列非空递缩闭集，即 Fn ⊃ Fn+1 (n ≥1) 并且 diamFn → 0 ，则 ≠ ∅ ∞ = n n F 1 ∩ ． 证明 取 n Fn x ∈ ，n ≥1，由 Fn ⊃ Fn+1知道 m Fn x ∈ ，∀m ≥ n．从而 ( , ) ≤ diam → 0 m n Fn d x x ． 这说明{ }n x 是 Cauchy 序列． X 是完备的，故有 x∈ X ， x x n n = →∞ lim ．已经知道 m Fn x ∈ (m ≥ n) ，由于 Fn 是闭集，故 有 Fn x∈ (n ≥1) ，或者 n n x F ∞ = ∈ 1 ∩ ． 线性赋范空间 X 中的一个向量级数 ∑ ∞ i=1 i x 称为是可和（收敛）的，若存在 x∈ X ，使得 部分和序列 ∑= = n i n i s x 1 依 X 的范数收敛于 x ， n s s → ，此时记 ∑ ∞ = = i 1 i x x ．∑ ∞ i=1 i x 称为绝对可和 的，若 ∑ < ∞ ∞ =1 || || i i x ．与数值级数不同，一个绝对可和的向量级数可能不是可和的，见例 1．下 面定理说明这个问题与空间的完备性有密切联系． 定理 2 设 X 是线性赋范空间， X 是完备的当且仅当其中任一绝对可和级数可和． 证明 若 X 完备， xi ∈ X ， ∑ < ∞ ∞ =1 || || i i x ．设 ∑= = n i n i s x 1 ，则 || || || || || || 0 1 1 − = ∑ ≤ ∑ → = + = + m i n i m i n m n i s s x x ，(m,n → ∞) 于是{ }n s 是 Cauchy 序列．从而存在 x ∈ X ， s x n → ，即 ∑ ∞ = = i 1 i x x ． 反之，若 X 中任一绝对可知级数可和，{ }n s 是 X 中的 Cauchy 序列．∀k ≥1，取 k n 是 使 m nk k s s 2 1 || − ||< ( ) k ∀m ≥ n 成立的自然数，不妨设 k n 是递增的．令 1 1 n x = s ， −1 = −k k k n n x s s (k ≥ 2) ，则 ∑ ∑ ∞ = ∞ = − = + − 1 2 || || || || || || 1 1 k n n n i i k k x s s s ≤|| || +1< ∞ n1 s ， 即级数 ∑ ∞ k=1 k x 绝对可和．由假设，存在 x ∈ X ，使得 x s x i n i k ∑ k = → =1 ．∀ε > 0 ，存在 0 n ，使得 0 n n i ≥ 时， 2 || || ε s − x < ni ．另一方面，{ }n s 为 Cauchy 序列，只要 0 n 足够大，当 0 n,n n i ≥ 时
lsn-snk5.此时 Ism, -xsls, -sl+, -xka s.→x,X是完备的 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法?试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质,让我们先来介绍稠密性和Bare纲的概念 定义2设X是度量空间,EcX (1)称E在X中稠密,若E=X (2)称E在X中无处稠密,若(E)=② (3)称E是第一纲的,若E可以写成至多可数多个无处稠密集的并 X中不是第一纲的集合称为是第二纲的 (4)称空间X具有 Baire性质,若X中可数多个稠密开集之交仍在X中稠密 例如,有理数的全体Q在整个实数域R中是稠密的.而 Cantor的三分点集E在[01中 是无处稠密的 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些 命题1设X是度量空间,EcX,则以下条件等价 (1)E在X中稠密 (2)对于X中任一非空开集U,E∩U≠ (3)对于任何x∈X,存在xn∈X,使得xn→x 证明(1)→(2)设U是X中的非空开集.由于E=EUE=X,要么有E∩U≠, 此时结论为真.要么E∩U≠⑧.此时由E的性质(第二讲命题4(3)),存在xn∈E,xn≠x x→x.显然必有某个xn∈U,所以也有E∩U≠② (2)→(3)Wx∈X,取Un=O(x,rn),rn→0,由(2)中条件,彐xn∈Un∩E, 于是xn→x.(3)→(1)是明显的 命题2设X是度量空间,EcX,则以下条件等价: (1)E在X中无处稠密 (2)E在X中无处稠密 (3)对于X中任一非空开球U,存在非空开球VcU,使得V∩E=⑧ (4)(E)在X中稠密 证明(1)与(2)的等价性直接由定义得到 (1)→(3)若E在X中无处稠密,即(E)°=②,则对于任何开球U,U\E≠⑧.注
2 || || ε sn − sn < i ．此时 || s − x ||≤|| s − s || + || s − x ||< ε n n ni ni ， 即 s x n → ， X 是完备的． 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法？试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质，让我们先来介绍稠密性和 Baire 纲的概念． 定义 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称 E 在 X 中稠密，若 E ⊃ X ． （2）称 E 在 X 中无处稠密，若 = ∅ 0 (E) ． （3）称 E 是第一纲的，若 E 可以写成至多可数多个无处稠密集的并． X 中不是第一纲的集合称为是第二纲的． （4）称空间 X 具有 Baire 性质，若 X 中可数多个稠密开集之交仍在 X 中稠密． 例如，有理数的全体Q 在整个实数域 R 中是稠密的．而 Cantor 的三分点集 E 在[0,1]中 是无处稠密的． 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些． 命题 1 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中稠密． （2）对于 X 中任一非空开集U ， E ∩U ≠ ∅ ． （3）对于任何 x ∈ X ，存在 xn ∈ X ，使得 x x n → ． 证明 （1）⇒（2） 设U 是 X 中的非空开集．由于 E = E ∪ E′ ⊃ X ，要么有 E ∩U ≠ ∅ ， 此时结论为真．要么 E′∩U ≠ ∅ ．此时由 E 的性质（第二讲命题 4（3）），存在 xn ∈ E ，x x n ≠ ， x x n → ．显然必有某个 xn ∈U ，所以也有 E ∩U ≠ ∅ ． （2）⇒ （3） ∀x ∈ X ，取 ( , ) n n U = O x r ， rn → 0 ，由（2）中条件，∃xn ∈Un ∩ E ， 于是 x x n → ．（3）⇒ （1）是明显的． 命题 2 设 X 是度量空间， E ⊂ X ，则以下条件等价： （1） E 在 X 中无处稠密． （2） E 在 X 中无处稠密． （3）对于 X 中任一非空开球U ，存在非空开球V ⊂U ，使得V ∩ E = ∅ ． （4） c (E) 在 X 中稠密． 证明 （1）与（2）的等价性直接由定义得到． （1）⇒（3） 若 E 在 X 中无处稠密，即 = ∅ 0 (E) ，则对于任何开球U ，U \ E ≠ ∅ ．注