二、RC电路的零输入响应 1.定性分析: s t=0 R 在换路前,开关S合在1的位置上,电源对电容元件充电, 达到稳态时,=U。在t=0时,将开关S从位置“1”合到位置 R “2”,使电路脱离电源,输入信号为零,此时,电容元件上的 电压初始值uc(0,)=l(0.)=U。在p0时,电容元件经过 U C 电阻R开始放电 2.定量分析 根据KVL,列出t≥0时的电路微分方程 图6-7RC电路零输入响应 而=R,i=C=代入上式得:RC=+uc=0 上式为一阶常系数线性齐次微分方程,令它的通解为:c=Ae 代入方程中,并消去公因子Ae",得出该微分方程的特征方程:RCp+1=0 其特征根为:P=-R 因此,该微分方程的通解为 式中A为积分常数,由电路的初始条件确定,即: lc(04)=u2(0.)=U,U=A=l(0,) 所以c=UekC 3.波形分析: 可见,电容在放电时,其电压随时间按指数规律衰减,它的初始值为U,衰减终了为 零。Lc随时间的变化曲线如图6-8所示 R U 0.368U uc的变化曲线 -U i、uR的变化曲线 图6-8电容放电时电压电流曲线
二、RC 电路的零输入响应 1．定性分析： 在换路前，开关 S 合在 1 的位置上，电源对电容元件充电， 达到稳态时，uC=U。在 t=0 时，将开关 S 从位置“1”合到位置 “2”，使电路脱离电源，输入信号为零，此时，电容元件上的 电压初始值 uC (0+ ) = uC (0− ) =U 。在 t>0 时，电容元件经过 电阻 R 开始放电。 2．定量分析： 根据 KVL，列出 t≥0 时的电路微分方程 uR + uC = 0 而 u Ri R = ， dt du i C C = 代入上式得： + C = 0 C u dt du RC 上式为一阶常系数线性齐次微分方程，令它的通解为： pt uC = Ae 代入方程中，并消去公因子 pt Ae ，得出该微分方程的特征方程： RCp +1 = 0 其特征根为 ： RC p 1 = − 因此，该微分方程的通解为： t RC uC Ae 1 − = 式中 A 为积分常数，由电路的初始条件确定，即： uC (0+ ) = uC (0− ) =U ， (0 ) U = A = uC + 所以 t RC uC Ue 1 − = 3．波形分析： 可见，电容在放电时，其电压随时间按指数规律衰减，它的初始值为 U，衰减终了为 零。uC 随时间的变化曲线如图 6-8 所示。 图 6-8 电容放电时电压电流曲线 图 6-7 RC电路零输入响应
RC电路放电过程中电容放电电流和电阻上的电压为 du I= 上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图中的参考方向相反。画出了i、uR随时间 变化的曲线 4.RC电路的零输入响应的时间常数 令 因为它具有时间的量纲,单位是秒,所以称为RC电路的时间常数。电压uc衰减的快 慢决定于电路的时间常数 当t=rc时,电容上电压值为 lc=Ue=Ue=0368=0.368c(0,) 可见时间常数zc为电容电压衰减到初始值的0.368倍所需要的时间 Uc(0=Uc(0+)e-t/t.T=RC 5.RC零输入响应一般公式: c(t)=- Cduc/dt(本例中U,i关联 能量分析(略) [例]:教材P1516-3 三、RL电路的零输入响应 s t=0 R 1.定性分析 在换路前,开关S是合在“1”的位置上,电感元件 中通有电流,(0-)=R·在=0时将开关从“1”的位置 U u 合到“2”的位置,使电路脱离电源,RL电路被短路。此 时,i1(04)=i2(0.) 电感元件已储有能量,逐渐 R 被电阻R消耗。 2.定量分析: 图6-9RL电路零输入响应 根据KVL得:ug+u2=0 L di 又由uB=R·i和2=L代入上式得 0 rdt L 上式为一阶线性常系数齐次微分方程。其特征方程:RP+1=0 R 特征根为:P=-L 因此,微分方程的通解为:i=AeP=Ae
RC 电路放电过程中电容放电电流和电阻上的电压为 t C RC e R U dt du i C 1 − = = − t RC uR R i Ue 1 − = = − 上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图中的参考方向相反。画出了 i、uR 随时间 变化的曲线。 4．RC 电路的零输入响应的时间常数 令 C = RC 因为它具有时间的量纲，单位是秒，所以称为 RC 电路的时间常数。电压 uC衰减的快 慢决定于电路的时间常数。 当 C t = 时，电容上电压值为 0.368 0.368 (0 ) 1 + − − = = = = C t uC Ue Ue U u C 可见时间常数 C 为电容电压衰减到初始值的 0.368 倍所需要的时间。 5．RC 零输入响应一般公式： = − = + − = ic(t) Cduc/dt ( U i ) ( ) (0 ) / ........ RC 本例中 ， 非关联 Uc t Uc e t 6．能量分析（略） [例]：教材 P151 6-3 三、RL 电路的零输入响应 1．定性分析： 在换路前，开关 S 是合在“1”的位置上，电感元件 中通有电流， R U i(0− ) = 。在 t=0 时将开关从“1”的位置 合到“2”的位置，使电路脱离电源，RL 电路被短路。此 时， R U i i L (0+ ) = L (0− ) = ，电感元件已储有能量，逐渐 被电阻 R 消耗。 2．定量分析： 根据 KVL 得： uR + uL = 0 又由 u R i R = 和 dt di u L = L 代入上式得： + i = 0 dt di R L 上式为一阶线性常系数齐次微分方程。其特征方程 ： p +1 = 0 R L 特征根为 ： L R p = − 因此，微分方程的通解为 ： t L R pt i Ae Ae − = = 图 6-9 RL电路零输入响应