CH13拉普拉斯变换 Laplace Transformations) 本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用;运算电路 图的画法;用拉普拉斯变换分析电路 513-1拉普拉斯变换定义 教学目的:拉普拉斯变换的定义。 教学重点:拉普拉斯正变换,拉普拉斯变换存在的条件。 教学难点:用拉普拉斯变换定义求几个常函数的拉氏变换。 教学方法:课堂讲授。 教学内容 、引言 拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程,是研究线性系统的一种有效而重要 的工具 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换,它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中 的常系数线性代数方程。因此,进行计算比较简单,这正是拉普拉斯拉斯变换(简称:拉氏 变换)法的优点所在 二、拉普拉斯拉斯变换的定义 个定义在00区间的函数f(),其拉氏变换F(s)定义为 F(s)=LL(]=f(e"dt 式中:s=6+jω为复数,有时称变量S为复频率 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析,有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数,而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[]”表示对方括号 内的函数作拉氏变换 三、几个常见函数的拉氏变换 1.()的拉氏变换 0t<0 t≥0. F(s)=L[E(]=L a(t)e-dt=[le-sdr I 2.d(1)的拉氏变换 t≠0 (1) 6(1)d t=0 §13-2拉普拉斯变换的基本性质
CH13 拉普拉斯变换(Laplace Transformations) 本章介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路 图的画法；用拉普拉斯变换分析电路。 §13-1 拉普拉斯变换定义 教学目的：拉普拉斯变换的定义。 教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件。 教学难点: 用拉普拉斯变换定义求几个常见函数的拉氏变换。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、引言 拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要 的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中 的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏 变换）法的优点所在。 二、拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在 区间的函数 f (t) ,其拉氏变换 F(s) 定义为: − = = 0 F(s) L[ f (t)] f (t) e -stdt 式中：s=б+jω为复数，有时称变量 S 为复频率。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法。 F(s)又称为 f(t)的象函数，而 f(t)称为 F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号 内的函数作拉氏变换。 三、几个常见函数的拉氏变换 1．(t)的拉氏变换 = 1 0. 0 0; ( ) t t t s e s F s L t t e dt e dt st st st 1 0 1 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 0 = = = = = − − − − − − 2． (t) 的拉氏变换 = = = + − ( ) 1 0. 0 0; ( ) t dt t t t §13-2 拉普拉斯变换的基本性质
教学目的:本节将介绍拉氏变换的一些基本性质,利用这些基本性质, 可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数,同时,这些基本性 质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 教学重点:拉普拉斯变换的性质。 教学难点:用拉普拉斯变换的性质求得象函数。 教学方法:课堂讲授。 教学内容 、唯一性 定义在[00区间的时间函数()与其拉氏变换F()存在一一对应关系。根据(可以 唯一的确定其拉氏变换2(G);反之,根据2(s),可以唯一的确定时间函数f(。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质,正是这个性质,才是我们有可能将时域中的问题变换为 复频域中的问题进行求解,并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的 证明从略。 二、线性性质 若1()和2()是两个任意的时间函数,其拉氏变换分别为()和2(),A和是 两个任意常数,则有 瓦A1.f1(2)±A22()]=A1Lf1()]±A2L2()]=A1E1(s)+A2(s) 证]:根据拉氏变换的定义可得 A0+A20=4(+4f(Oyd = Ah fi()"dt+A2 f2(t)e"dt =A11(s)+A2(s) 例]:求mnc的拉氏变换 [解]: 由于snat= j一 所以 「e3-e-1 -(L[eu]-I[e uD 2 2八6-Jas+Ja)s2+a 、时域导数性质(微分性质) Lf(0]=sF(s)-f(o_) 证L()]=°f(ead
教学目的：本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质， 可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性 质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 教学重点：拉普拉斯变换的性质。 教学难点: 用拉普拉斯变换的性质求得象函数。 教学方法：课堂讲授。 教学内容： 一、唯一性 定义在 区间的时间函数 与其拉氏变换 存在一一对应关系。根据 可以 唯一的确定其拉氏变换 ；反之，根据 ，可以唯一的确定时间函数 。 唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为 复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。唯一性的 证明从略。 二、线性性质 若 和 是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为 和 ， 和 是 两个任意常数，则有： [证]：根据拉氏变换的定义可得 [例]：求 的拉氏变换。 [解]： 三、时域导数性质（微分性质）
u=e”,d=f(t)a,则U=f(),dh=-se-”,代入分布积分公式 ∫-du=-jh可得 f(e)e-ai=f()e-21.-f(( 如果a>0,则当t→时,f()e”→0,所以上式为 f(te f(o)+sl f(ce dt=sF(s)-f(o 此性质可推至n阶 Lf()]=s2F(s)-可(0)-(0) L-()()]=sF(s)-82)f()-8(2)f(0.)-…sf(-2)(0)-f)(0) [例]:应用时域导数性质求c8a的象函数。 [解]: 因为(cm 所以 d(sin at) 故201a) a。2 四、时域积分性质(积分规则 若()=F()则(的积分[fd的拉氏变换为 叫f(4]==F( C.UC/edy(ie") 设m((-2)则=0)=一”代入分布积分 公式可得 f(5)dl-(J(5)a 如果σ>0则当t→∞时,等式右边第一项趋于零,当t=0时,此项也等 于零。所以 Z[L f(E)ds ()e"dt=-F(s [例]:求单位斜坡函数a()=t及f()=的象函数
[例]：应用时域导数性质求 的象函数。 [解]： 四、时域积分性质（积分规则） [例]： 求单位斜坡函数 及 的象函数。 [解]：
因为2=t= 所以 L2(O)]=L 又因为 f() 2 所以 依次为推,可得 五、时域平移性质(延迟性质) 若Lf()]=F(,则有 Lf(t-t)·1(-0)=eF(s) 证 If(t-to).1(t-to)]= f(t-to)1(t-to)e" dt =[.f(-60)e-ah 令τ=t-t0则t=t+4,代如上式得 (-)1c-4)=f(xJ(oedz=eF() 513-3拉普拉斯反变换 教学目的:具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理 求待定系数法。 教学重点:具有单根、复根时求待定系数法,熟练掌握反变换的求法。 教学难点:部分公式及分解定理求待定系数法。 教学方法:课堂讲授。 教学过程:每讲完一种情况都让学生练习,以巩固学过的内容。 教学内容 、拉普拉斯反变换 在应用拉氏变换分析问题时,首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量,并求得用 象函数表示的解答,然后,再对象函数形式的解答进行拉斯反变换,以求得时域中的解答 求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表,但一般必须进行一些数学处理,使其变 为表中所列的形式 在电路理论中,常见的响应函数的象函数往往是s的有理函数,可直接应用部分分式展 开法。将F(s)化为如下形式: F() D(s) 式中:N(8)是()被D()所除而得的商:B()是余式,其次数低于D()的次数 、D(s)=0有个单实根
五、时域平移性质（延迟性质） §13-3 拉普拉斯反变换 教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理 求待定系数法。 教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法。 教学难点：部分公式及分解定理求待定系数法。 教学方法：课堂讲授。 教学过程：每讲完一种情况都让学生练习，以巩固学过的内容。 教学内容： 一、拉普拉斯反变换 在应用拉氏变换分析问题时，首先要将时域中的参量变换为复频域中的参量，并求得用 象函数表示的解答，然后，再对象函数形式的解答进行拉斯反变换，以求得时域中的解答。 求拉斯反变换最简单的方法是利用拉氏变换表，但一般必须进行一些数学处理，使其变 为表中所列的形式。 在电路理论中，常见的响应函数的象函数往往是 s 的有理函数，可直接应用部分分式展 开法。将 F(s)化为如下形式： 式中： 是 被 所除而得的商； 是余式，其次数低于 的次数。 二、 有 个单实根
设D()=0的n个单实根分别为P1,P2…Px,则2()可展开为 F(6) k1,k2 k P1 5-P, 式中:k1,k…k为待定系数。 若要求灯,将上式两边都乘(-n1),得 (-P)F()=+(B专 令8=P1,则等式右端除1外,其余各项均为零 k1=(s-P1)F(s) 同里可求得k2,k…,k。所以,确定待定系数的公式为 k i=(S-PI)F(s)Is- x=1,2,……,n F(s R(S 由于 D(s),所以 k=(-P3)F R(s) Pi s=Pi 因为是D()=0的一个根,所以上式为0型不定式,故可用洛比塔法则来确定气的值 k ;=lim (s-p2)R(s) D(s 所以,确定待定系数的另一公式为 k2=1im8=80 3-R D(s) D(s)>- F(8)对应的原函数为 f()=LF()=∑k” [例]: 求F(s)= +15s+11 的原函数f() s2+5s+6 先将F(s)变为多项式与有理真分式 4s+5 F(s)=s+1++5+6 下面将进行部分分式展开 4s+5 k1,点2 +5+6(s+2(s+3s+2s+3
设 的 个单实根分别为 ，则 可展开为 式中： 为待定系数。 若要求 ，将上式两边都乘 ，得 令 ，则等式右端除 外，其余各项均为零。 故 同里可求得 。所以，确定待定系数的公式为 由于 ，所以 因为 是 的一个根，所以上式为 型不定式，故可用洛比塔法则来确定 的值 所以，确定待定系数的另一公式为 对应的原函数为 [例]： 。 [解]：