例3求积分 arctan xd 2 解令u= arctan,xdhc=dx=bh 2 ∫ x arctan xdx=; arctan-「,a d(arctan) 2 2 arctan 2 21+x 2 =-arctanx Ddx 2 2 2arctanx-2x-arctanx)+c
例3 求积分 arctan . x xdx 解 令 u = arctan x , dv x xdx = d = 2 2 xarctan xdx (arctan ) 2 arctan 2 2 2 d x x x x = − dx x x x x 2 2 2 1 1 2 arctan 2 + = − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 2 2 + = − − ( arctan ) . 2 1 arctan 2 2 x x x C x = − − +
例4求积分x3 In xdx 解u=nx,xbk=dx=v, x'Inxdx=xtlnx-x'dx =xnx x4+C. 16 总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积,就考虑设对数函 数或反三角函数为这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个:容易积分
若被积函数是幂函数和对数函数或幂 函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函 数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分 公式就可使被积函数降次、简化、代数化、 有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。 u 例4 求积分 ln . 3 x xdx 解 u = ln x, , 4 4 3 dv x x dx = d = x ln xdx 3 = x x − x dx 4 3 4 1 ln 4 1 . 16 1 ln 4 1 4 4 = x x − x + C 总结
例5求积分 isin( x)do 解∫sim(mx)dk=xsm(mx)xin(mx月 =xsin(inX xcos(inx xsin(In x)xcos(In x)+xd[cos(In x) =nIsin(inx)-cos(Inx )I-sin(nx)dx jsin(n x)dx=, Isin(n x)-cos(n x)1+C 2 注:本题也可令t=lmx 分部积分过程中出现循环,实质上是得到待求积分 的代数方程,移项即可求得所求积分。注意最后 定要加上积分常数C
例5 求积分 sin(ln ) . x dx 解 sin(ln x)dx = − xsin(ln x) xd[sin(ln x)] = − dx x x x x x 1 sin(ln ) cos(ln ) = − + xsin(ln x) xcos(ln x) xd[cos(ln x)] = − − x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx sin(ln x)dx [sin(ln ) cos(ln )] . 2 x x C x = − + 注：本题也可令 t = ln x 分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C