n阶行列式 二、排列与逆序数 为了得到n阶行列式的定义和讨论其性质,先引入排列和逆序数的概念 定义2 将前n个自然数1,2,…n按照某一顺序排成一行,就称为一个n级排列.其 中若某两数之间大数在前而小数在后,则称它们构成一个逆序.一个排列中所有逆 序数的总数称为该排列的逆度数 n级排列(i1i2…i)的逆序数记为r(i2in),简记为x.例如,四级排列2314中,2与 3与1构成逆序,故x(2314)=2;再如六级排列243516中,2与1,4与1,3与1,5与1,4 与3均构成逆序,故(243516)=5 奇偶排列:逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列 如四级排列2314是偶排列,而六级排列243516为奇排列 对换:将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动,则称对该排列作了一次对换 如排列31524是排列21534经过2与3对换而得,而x(21534)=3,(31524)=4, 即经过对换后排列的奇偶性改变了 定理2 每一次对换改变排列的奇偶性 由上述定理可知,在n级排列中,奇偶排列各占一半,即各有(n/2)个 第一章行歹式
定理2 定义2 第一章 行列式 二、排列与逆序数 为了得到 n 阶行列式的定义和讨论其性质, 先引 入排列和逆序数的概念. 将前 n 个自然数 1, 2, …, n 按照某一顺序排成一行, 就称为一个 n 级排列. 其 中若某两数之间大数在前而小数在后, 则称它们构成一个逆序. 一个排列中所有逆 序数的总数称为该排列的逆序数. n 级排列 (i1 i2…in ) 的逆序数记为τ(i1 i2…in ), 简记为τ . 例如, 四级排列 2314 中, 2与1, 3 与 1 构成逆序, 故 τ(2314) = 2; 再如六级排列 243516 中, 2 与 1, 4 与 1, 3 与 1, 5与 1, 4 与 3 均构成逆序, 故 τ(243516) = 5. 奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列称为奇排列. 如四级排列 2314 是偶排列，而六级排列 243516 为奇排列. 对换：将一个排列中两个位置上的数互换而其余不动, 则称对该排列作了一次对换. 如排列 31524 是排列 21534 经过 2 与 3 对换而得, 而 τ(21534)=3, τ(31524)=4, 即经过对换后排列的奇偶性改变了. 每一次对换改变排列的奇偶性. 证 §2. n 阶行列式 由上述定理可知,在 n 级排列中,奇偶排列各占一半,即各有 ( n!/2 ) 个
三、n阶行列的定义 利用排列与逆序数的概念,可以看出三阶行列式 11a12a13 d=la (123)0(312)27(231)=2 C a31a2a33=a1a2a23+a13a2a2+a12a2a31 1242al31-a12y432-a12a21a3 r(321)=3r(132)=1r(213)=1 中共3!=6项,其中一半带正号,一半带负号 三阶行列式可记为 D=42a2a23=∑(-1)) 31432a33 其中∑是对所有三级排列(1j2j3)求和 同样,二阶行列式 D=a,a1=2(1ya12 其中∑是对所有二级排列(12)求和 第一章行列式
第一章 行列式 三、n 阶行列式的定义 利用排列与逆序数的概念, 可以看出三阶行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = , 13 22 31 11 23 32 12 21 33 11 22 33 13 21 32 12 23 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 中共 3! = 6 项, 其中一半带正号, 一半带负号. τ(123)= 0 τ(312)=2 τ(231)=2 τ(321)=3 τ(132)=1 τ(213)=1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a D = ( 1) , 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) = − j j j j j j a a a 其中 是对所有三级排列 ( j1 j2 j3 ) 求和. 三阶行列式可记为 21 22 11 12 a a a a D = =(−1) , 1 2 1 2 1 2 ( ) j j j j a a 其中 是对所有二级排列 (j1 j2 ) 求和. 同样, 二阶行列式
仿此,可得 定义3 n阶行列式 D 21a 其中∑是对所有n级排列(i/2…n)求和,而a仍称为第行第j列的元素 由定义3可知,n阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的n个元素乘积的代数 和,且共有n!项,其中一半带正号,一半带负号 例2 在一个五阶行列式中a13a24a32a41a5的前面应取什么符号? 解由于(34215)=5,列下标为奇排列, 故a13a24a32a41a5前应带负号 第一章行列式
例2 解 定义3 第一章 行列式 仿此, 可得 n 阶行列式 n n nn n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 其中 是对所有 n 级排列 ( j1 j2…jn ) 求和, 而 aij 仍称为第 i 行第 j 列的元素. = − nj n a j a j a 1 1 2 2 ( 1) ( ) 1 2 n j j j 由定义3 可知, n 阶行列式是所有不在同一行也不在同一列的 n 个元素乘积的代数 和, 且共有 n! 项, 其中一半带正号, 一半带负号. 在一个五阶行列式中 a13 a24 a32 a41a55 的前面应取什么符号? 由于 τ(3 4 2 1 5) = 5 , 列下标为奇排列 , 故 a13 a24 a32 a41 a55 前应带负号 . 上一页
例3)计算下列n阶行列式(称为(下)三角行列式) 解由定义,D1中取自不同行不同列的n个元素的乘积,除了a1a2.am外,其余 全为0,而a1a22am的列下标的排列为(12..n), r(12..n)=0, 故 1=(-1)a1a 作为例3的特例,可知下面的n阶行列式(称为对角行列式 第一章行列式
例3 第一章 行列式 计算下列 n 阶行列式 . 1 2 21 22 11 1 an an ann a a a D = (称为(下)三角行列式) 由定义，D1 中取自不同行不同列的 n 个元素的乘积，除了 a11 a22 …ann 外，其余 全为 0 ，而 a11 a22 … ann 的 列下标的排列为 (12 … n) , τ( 1 2 …n ) = 0, D1= (−1)0 故 a11 a22… ann. 解 作为例 3 的 特例，可知下面的 n 阶行列式(称为对角行列式) . 11 22 22 11 nn nn a a a a a a = 上一页
例4)计算n阶行列式 解取D2中不在同一行不在同一列的n个元素的乘积除a1na2n1….an外,其余全为 0,而a1na2n1,.an1的列下标的排列为(n,n-1,,1), z(m,n-11)=(n-1)+(n-2)+…+1=(n- n(n-1) 故D2=(-1) 由例4立即可知 第一章行列式
例4 第一章 行列式 计算 n 阶行列式 . 1 , 1 2, 1 2 1 2 n n n nn n n n a a a a a a D − − = 取 D2 中不在同一行不在同一 列的 n 个元素的乘积, 除 a1n a2, n-1 … an1 外, 其余全为 0 , 而 a1n a2,n-1… an1 的列下标的排列为 (n, n−1,…, 1), (n,n −1, 1) = (n −1) + (n − 2) ++1 故 ( 1) . 1 2, 1 1 2 ( 1) 2 n n n n n D a a − a − = − , 2 ( − 1) = n n 解 由例 4 立即可知 ( 1) . 1 2, 1 1 2 ( 1) n n n n n a a − a − = − 1 2, 1 1 n n n a a a − 上一页