为讨论方便,对向量及其坐标常采用列向量的 形式[a1a2,am1,则式子 a=a1B1+a2/2+…+anB (4.1) 可表示为分块矩阵相乘的形式 C =[A,B2,…,Bn (4.2) 6 2021/2/20
2021/2/20 6 为讨论方便, 对向量及其坐标常采用列向量的 形式[a1 ,a2 ,...,an ] T , 则式子 a=a1b1+a2b2+...+anbn , (4.1) 可表示为分块矩阵相乘的形式 1 2 1 2 [ , , , ] (4.2) n n a a a a b b b =
设B1={a1,a2…,an}和B2={m12…,n}是R的两 组基,则n,m2,…,n也都能被B1唯一地表示 n1=a101+a211+…+an1Cn and t a +…+a、C (4.3) n =aina+ t.+aman 可用分块矩阵表示为 7,2…,n]=[a1 2 (4.5) 7 2021/2/20
2021/2/20 7 设B1={a1 ,a2 ,...,an}和B2={h1 ,h2 ,...,hn}是Rn的两 组基, 则h1 ,h2 ,...,hn也都能被B1唯一地表示 1 11 1 21 1 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 (4.3) n n n n n n n nn n a a a a a a a a a h a a a h a a a h a a a = + + + = + + + = + + + 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] (4.5) n n n n n n nn a a a a a a a a a h h h a a a = 可用分块矩阵表示为
定义2设R的两组基B1={a1,a2,,n}和 B2={n,72,…,n}满足 12 n,n2…n=ax,a2…2Onl:?z 2n 或 [7,2…,n]=[a1,2 JA (46) 矩阵A称为旧基B到新基B2的过渡矩阵 过渡矩阵一定是可逆的 8 2021/2/20
2021/2/20 8 定义2 设Rn的两组基B1={a1 ,a2 ,...,an}和 B2={h1 ,h2 ,...,hn}满足 矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵. 过渡矩阵一定是可逆的. 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] (4.6) n n n n n n nn n n a a a a a a a a a A h h h a a a h h h a a a = = 或
定理2设向量a在两组基B1={a1,a2,…,m}和 B2={7,n2,mn}下的坐标向量分别为 xxix,x,]TFHy=[y1,22,V 1 基B到基B2的过渡矩阵为A,则 fyx或y=4 证由已知条件,有(46)式成立,且 ax,art, C+.tuna =y171+y22+…+Vn17 故 9 2021/2/20
2021/2/20 9 定理2 设向量a在两组基B1={a1 ,a2 ,...,an}和 B2={h1 ,h2 ,...,hn}下的坐标向量分别为 x=[x1 ,x2 ,...,xn ] T和y=[y1 ,y2 ,...,yn ] T . 基B1到基B2的过渡矩阵为A, 则 Ay=x 或 y=A-1x. 证 由已知条件, 有(4.6)式成立, 且 a=x1a1+x2a2+...+xnan =y1h1+y2h2+...+ynhn , 故
722…,mn]: y y ([ JA a1,a2…,n4 n 由于a在基a1,a2,an下的坐标是唯一的,所以 yx或y=41lx 2021/2/20
2021/2/20 10 由于a在基a1 ,a2 ,...,an下的坐标是唯一的, 所以 Ay=x 或 y=A-1x. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 [ , , , ] [ , , , ] ([ , , , ] ) [ , , , ] n n n n n n n n x y x y x y y y y y A A y y a a a a h h h a a a a a a = = = =