第三章线性系统的时减分析--3,只二阶系统的时臧分析◎ 332二阶系统的单位阶跃响应 令()=1(,则有R(s)=1/s。所以,二阶系统在单位阶跃函数 作用下输出信号的拉氏变换为: 2 (3.19) S+250S+O S 对上式求拉氏反变换,可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的 过渡过程为 ()=L[C(s) wangl@mailxidian.edu.cn 历蟓毛孑牧大字 XIDIAN UNIVERSITY
xtwang@mail.xidian.edu.cn 22 第三章 线性系统的时域分析---3.3二阶系统的时域分析 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/s。所以, 二阶系统在单位阶跃函数 作用下输出信号的拉氏变换为 ： s s s C s n n n 1 2 ( ) 2 2 2 + + = (3.19) 对上式求拉氏反变换, 可得二阶系统在单位阶跃函数作用下的 过渡过程为 ( ) [ ( )] 1 c t L C s − =
第三章线性系统的时减分析--3,只二阶系统的时臧分析◎ 式中,O=0n1-2称为有阻尼自振角频率。 下一步:进行拉普拉斯反变换 式(319)可以展成如下部分分式形式 C(s) 5+25Qm,S+O, S C(s S+250 S (S+San+ jod(s+so,-j@d) 1s+250n s(S+cO S+5o S (S+5a,)+ad a (s+90n)+O 阶跃 COS e sm sin@,t wang(@mailxidian.edu.cnL 子牧大 XIDIAN UNIVERSITY
xtwang@mail.xidian.edu.cn 23 第三章 线性系统的时域分析---3.3二阶系统的时域分析 s s s C s n n n 1 2 ( ) 2 2 2 + + = 式(3.19)可以展成如下部分分式形式: 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) ( )( ) 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) n n d n d n n d n n d n d d n d s C s s s j s j s s s s s s s + = − + + + − + = − + + + = − − + + + + 阶跃 cos n t d e t − sin n t d e t − 式中, 称为有阻尼自振角频率。 下一步：进行拉普拉斯反变换 2 d =n 1−
第三章线性壽统的时减分析--3,只二阶系统的时城分析◎ c(t)=LC(SI=1-e s cosa,/ 5Oy, e"so, sin odt e cosO,t+ sin ot(t≥0 三角公式 an =5 5o,t c()=1 e cos@t+s sin a,t iin t cos p sin(a+b) =sin a cos b+cos asin b e So,t sn(ot+q)(t≥ 式中9= arctan(y1-22/5) 阻尼比在不同的范围内取值时,二阶系统的特征 系统的单位阶 根在5平面上的位置不同,二阶系统的时间响应跃响应表达式 对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论 wangl@mailxidian.edu.cn 24 历蟓毛孑牧大字 XIDIAN UNIVERSITY
xtwang@mail.xidian.edu.cn 24 第三章 线性系统的时域分析---3.3二阶系统的时域分析 1 2 ( ) [ ( )] 1 cos sin 1 cos sin ( 0) 1 n n n t t n d d d t d d c t L C s e t e t e t t t − − − − = = − − = − + − ( ) sin( ) ( 0) 1 1 1 cos sin 1 ( ) 1 2 2 2 + − = − − + − = − − − t t e t t e c t d t d d t n n 式中, arctan( 1 / ) 2 = − 系统的单位阶 跃响应表达式 阻尼比在不同的范围内取值时，二阶系统的特征 根在s 平面上的位置不同，二阶系统的时间响应 对应有不同的运动规律。下面分别加以讨论。 三角公式 2 d =n 1− 2 2 2 sin 1 , cos sin cos 1 sin( +b) sin cos cos sin a a b a b = − = + = = +
第三章线性壽统的时减分析--3,只二阶系统的时城分析◎ 1.欠阻尼情况(0<<1) Sam+ja ()=1-;sn(Ot+y)(t20) c() 在欠阻尼情况下,二阶系统的单位阶跃响 应是衰减的正弦振荡曲线 衰减速度取决于特征根实部的绝对值50n的大小 振荡角频率 是特征根虚部的绝对值 2.0 80 100t 2丌 输出波形与特征根的关系 振荡周期为7≈2n n wangl@mailxidian.edu.cn 历蟓毛孑牧大字 XIDIAN UNIVERSITY
xtwang@mail.xidian.edu.cn 2 ( ) 1 sin( ) ( 0) 1 n t d e c t t t − = − + − ＝ 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.5 2.0 0 20 40 60 80 100 0.5 1 1.5 2 c(t) t 1. 欠阻尼情况(0＜ζ＜1) 在欠阻尼情况下, 二阶系统的单位阶跃响 应是衰减的正弦振荡曲线 衰减速度取决于特征根实部的绝对值 的大小 2 1,2 1 n n s j = − − n 振荡角频率 2 d =n 1− 是特征根虚部的绝对值 振荡周期为 2 1 2 2 − = = n d Td 输出波形与特征根的关系 第三章 线性系统的时域分析---3.3二阶系统的时域分析
第三章线性系统的时减分析--3,只二阶系统的时臧分析◎ 欠阻尼情况(0<<1) 5=0 0.3 0.5 0.7 c(t)=1 e n sin(@d t+B) 0. 0 衰减振荡 60 80 100t wangl@mailxidian.edu.cn 26 历蟓毛孑牧大字 XIDIAN UNIVERSITY
xtwang@mail.xidian.edu.cn 26 第三章 线性系统的时域分析---3.3二阶系统的时域分析 c(t) t 0 1 ( ) sin( ) + − = − − c t e t d t n 2 1 1 1 衰减振荡 ＝ 0 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.0 1.5 2.0 0 20 40 60 80 100 0.5 1 1.5 2 c(t) t 欠阻尼情况(0＜ζ＜1)