学观点来解释,从1—9都是长条形状,“○”也就 自然苗条地变成了“0 (四)妙用规矩成方圆 俗话说,没有规矩不成方圆,是借指纪律、制 度的重要性。其实这话也颇有几何意义。我国远 古时代的人就知道规和矩的用途,知道用两脚规 画圆,直角矩画方。在长沙出土的楚器中有一柄两 足形木器,两头都是尖形,现称为“木剪”,这可能 就是古代的圆规,现藏北京历史博物馆矩像曲尺 形,矩由长短两尺合成,相交成直角,尺上有刻度, 短尺叫勾,长尺叫股。甲骨文中有规字,像手 执规画圆,矩字记作“匚”,甲骨文中石字记作 “了”,是碰石岩的形象,应当是矩的原来意义。规 矩被看作我国古代数学的象征。 我国使用规和矩的历史悠久,早在伏羲时代 就用了伏羲又名包羲、庖牺、宓羲、伏戏、羲皇,是 传说中的“三皇″“五帝”之一,是原始人的首领。传 说他教民制网罟,从事渔猎畜牧,传说他结绳而 治,始作八卦、造书契,我国民间公认他是第一位 杰出的数学家。又传说他和女娲氏兄妹族外相婚, 始创嫁娶,正姓氏。中国神话中伏羲和女娲是人类 的祖先,传说女娲炼五色石以补苍天,用黄土造 21
人,折断鳌足支撑四极,治理洪水,杀死猛兽,使人 民得以安居 我国博物馆里藏有一些画,如山东历城县孝 堂山郭氏基石祠的“伏羲手执矩,女娲手执规”的 画像;山东嘉样县汉武梁祠石室也有这类石像,如 图1.14;同类画像在吐鲁番、高昌等地都有。山东 沂南汉画石基中的图和有些地方的图中伏羲和女 娲的神像也是人首蛇身的。而且这些画中所附规 矩的原形都相同,这说明我国上古时代就已普遍 使用规矩作为测量和画图的工具。事实上,夏代以 前的原始部落的屋基遗址很多是正方形的或圆形 的,公元前4000年的西安半坡村的遗址就是例 证。流传下来的书籍也可作证 山东嘉祥县汉武梁祠石室造像中还有一石 作:“伏羲手执矩”,旁记:“伏羲仓精,初造王业,画 卦结绳,以理海内”。传说规矩二器是伏羲制造的 另一传说认为规矩是便所制,汉王符《潜夫论》卷 ,資学第一,称:“昔倭之巧,目茂圆方,心定平 直,又造规、绳、矩、墨,以诲后人”。《尸中》中说: “古者锤为规矩、准绳,使天放焉。”锤是我国公元 前27—24世纪的人,相传为黄帝或尧时代的人 公元前21世纪,我们民族正由原始社会向奴 隶社会过渡,当时部落联盟的首领是舜舜派鲧治 水,因方法不对而失败,后又派鲧的儿子禹领导治 22
水。为了画出正确的治水方案,禹不避艰辛,翻山 越岭,实地勘察山川形势,13年中“三过家门而不 入”。《史记》写道:禹“陆行乘车,水行乘舟,泥行 乘橇,山行乘棒,左准绳,右规矩,载四时,以开九 州,通九道”。禹利用的测量工具都是准绳和规矩 我国古代在进行天文测量时,先在地上垂直 地竖起一根木竿表,表的垂直与否就是用矩 来定,即上面讲到的平矩以正绳。我国古人很早就 懂得规矩的妙用 到公元前11世纪的时候,商高就更懂得用矩 之道了,能巧妙地利用规矩解决几何问题。如“平 矩以正绳”的意思就是把矩放平可以作为准绳来 确定铅直和水平方向;“偃矩以望高”就是把矩立 起来,可以测量高度,偃即仰;“覆矩以测深”即把 矩倒过来,可以测量深度;“卧矩以知远”则是矩放 在水平面上,可以测量距离;“环矩以为圆”是把矩 转一圈成了圆的意思;“合矩以为方”说的是把两 个矩尺合起来则构成一个长方形 刘徽(3世纪)的时候,矩的功能更加得到发 挥,如“大刀入关公之手”,刘徽能用“累矩”解决很 是繁难的测深问题。具体内容在第二章的“重差 术”中再介绍。 23
(五)勾股定理最早的天才发现 1979年我国高考数学试题中有一道题是 “叙述并证明勾股定理。”勾股定理—在直角三 角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方 是平面几何中最重要的一条定理。因为几何图形 的计算往往要归结到直角三角形的解法,常常要 用这条定理。做几何论证时,也常要用这条定理, 它应用广泛,因而引起古今中外极多学者注意。 西方数学把这一定理称为毕达哥拉斯定理, 认为它是古希腊数学家毕达哥拉斯( Pythagoras, 约公元前569500)的学派首先发现并证明了这 定理。这是错误的,我们不能因为毕氏学派杀了 百头牛隆重庆祝该学派发现了这个定理而把功 绩归功于毕氏学派,因为他们并不是“首先”发现 者况且毕氏的证法已失传,不能断定毕氏学派确 已证出了该定理。 那么,谁是勾股定理的首先发现者呢?我们看 看下列史实就会知道 远在公元前3000年的巴比伦人是很聪明的, 从他们的普林顿322号书板中可以看出,古巴比 伦人知道了素毕氏三数的一般参数表达式。毕氏 三数是指能作为一个直角三角形的边的正整数, 24
素毕氏三数指除1以外,没有其它公因子的毕氏 三数。这是数论研究的内容,与勾股定理有些关 系,但我们认为这还不能就说巴比伦人发现了勾 股定理。 据说古埃及人也运用过勾股定理及其逆定 理,在大约公元前1850年的纸草书(现藏莫斯科) 中有用11个结把一根绳分成12等分,而构成了 3、4、5的三角形来作直角的例子。这是聪明的发 现,虽然只限于特例 公元前21世纪夏禹治水时,就用到勾股术 以“望山川之情,定高下之势”。这说明我国在那时 或者更早一些,可能就已经应用了勾股定理的原 理 在公元前1世纪左右成书的《周髀算经》中明 确记载了商高(公元前1100年左右)答周公的话: “故折矩,以为勾广三,股修四,经隅五。”就是说, 取勾三股四,则弦就是五,即32+42=52。商高确 实知道,用勾三股四弦五可以做成直角三角形。至 于商高是否已经掌握一般情况下的勾股定理?还 没有足够的证据。从时间上看,商高比毕达哥拉斯 约早600年。 《周髀算经》中还记载有陈子与荣云的对话: 求邪(同斜)至日者,以日下为勾,日高为股,勾 股各自乘,并而开方除之,得邪至日。”即邪至日= 25