2002年《数学建模》试题 解答要点及部分答案 阅卷原则:以假设的合理性、建模的创新性、结果 的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准 说明:该套题目分为基本题目和分析题,其中分析 题应在仔细分析和深入思考的基础上,发挥自己的创造 能力,留下独立思考的痕迹 这里给出的答题要点是教师个人的想法,鼓励同学 们的其它正确合理的解答. (基本题目) (1)在一个密度为的流质表面下深h处的压强 P=pgh(g是重力加速度),试检验此公式的量纲是否 正确? (2)在弹簧一质量一阻力系统中,质量为m的物 体在外力F(t)的作用下,在t时刻的位置x(t)满足以下 方程: dx n +r+kr= F(t) dt 其中r是阻尼系数,k是弹簧的弹性系数,试确定r,k 的量纲 解答(1)|p=LMT2,公式量纲正确; (2)[r|=MT,|k|=MT 二.(分析题) 一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快,目前器
2002 年《数学建模》试题 解答要点及部分答案 阅卷原则：以假设的合理性、建模的创新性、结果 的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准. 说明：该套题目分为基本题目和分析题，其中分析 题应在仔细分析和深入思考的基础上，发挥自己的创造 能力，留下独立思考的痕迹. 这里给出的答题要点是教师个人的想法，鼓励同学 们的其它正确合理的解答. 一.（基本题目） （1）在一个密度为 的流质表面下深 h 处的压强 P= gh（g 是重力加速度），试检验此公式的量纲是否 正确？ （2）在弹簧—质量—阻力系统中，质量为 m 的物 体在外力 F(t)的作用下，在 t 时刻的位置 x(t)满足以下 方程： ( ) 2 2 kx F t dt dx r dt d x m + + = ， 其中 r 是阻尼系数，k 是弹簧的弹性系数，试确定 r, k 的量纲. 解答（1）[p] =L—1MT—2 , 公式量纲正确； （2）[ r]= MT—1 , [k]= MT—2 . 二. （分析题） 一个细菌培养器皿中细菌的繁殖速度很快，目前器
皿中有100个细菌,每隔5分钟细菌个数就会加倍,请 仔细分析实际情况,建立一个函数表示出t时刻的细菌 数量 解答关键语句:“仔细分析实际情况” 1.讲义p54的模型y=100exp(0.139),t≥0 是理想化的结果,不合乎实际情况。 2.结合实际情况可考虑以下因素:细菌的繁殖、死 亡、营养、培养器皿的空间大小等 3.做合理的假设,如: 1器皿中的营养足够细菌的繁殖需要 2细菌个数是连续变化的,细菌的增加理解为自然 繁殖个数减去自然死亡个数; 3培养器皿的空间所限,器皿中存活细菌个数有上 限YM(类似于相对于人类生存的地球)。 4.对理想化模型进行改进: 100exp(0.139),0<t≤tM y(t) M t>t 其中,有y(tM)=YM。256 注:针对对不同情况的考虑,可做出不同的假设, 建立不同的模型但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件 “有100个细菌,每隔5分钟细菌个数加倍” 三.(基本题目)(见概率论教材p41) 许多人有过这样的经历,进行一次医疗检查,结果 呈阳性提示此人患病,但实际上却虚惊一场,究其原因 往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对1000 人进行调查得到以下数据结果矩阵: 有病 无病 正确诊断的人数 错误诊断的人数
皿中有 100 个细菌，每隔 5 分钟细菌个数就会加倍，请 仔细分析实际情况，建立一个函数表示出 t 时刻的细菌 数量. 解答 关键语句：“仔细分析实际情况” 1．讲义 p54 的 模型 y = 100exp(0.139)t, t 0 是理想化的结果，不合乎实际情况。 2. 结合实际情况可考虑以下因素：细菌的繁殖、死 亡、营养、培养器皿的空间大小等. 3．做合理的假设，如： *1 器皿中的营养足够细菌的繁殖需要； *2 细菌个数是连续变化的，细菌的增加理解为自然 繁殖个数减去自然死亡个数； *3 培养器皿的空间所限，器皿中存活细菌个数有上 限 YM（类似于相对于人类生存的地球）。 4. 对理想化模型进行改进： = , . 100exp(0.139) , 0 ; ( ) M M M Y t t t t t y t 其中，有 y(tM ) = YM 。256 注：针对对不同情况的考虑，可做出不同的假设， 建立不同的模型.但应考虑马尔萨斯模型是否满足条件 “有 100 个细菌，每隔 5 分钟细菌个数加倍”. 三．(基本题目) （见概率论教材 p41） 许多人有过这样的经历，进行一次医疗检查，结果 呈阳性提示此人患病，但实际上却虚惊一场，究其原因 往往是检查的技术水平等因素造成错误所致。对 1000 人进行调查得到以下数据结果矩阵： 有病 无病 正确诊断的人数 错误诊断的人数
360 120 40 480 请你为一名诊断有病的人分析一下,他确实患病的 可能性有多大? 解答该题目考核灵活应用概率论知识的能力,特别 注意频率与概率概念的差别 设A={诊断有病},B={确实有病} 需 求 概 率 P=P(B A) P(B)P(A B) P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 问题是公式中的各个概率均未知利用所给数据矩 阵,可计算以下频率值: 360+404 f(B) 100010 受检查者本无病检查呈阳性的频率值为: 480 8 120+48010 受检查者确有病检查呈阳性的频率值为: 360 9 360+4010 由贝努里大数定律知,可用频率估计概率,故可以 假设: 9 P(B)=n,P(AB)=0,P(4B)= 8 10 10 从 而 1010 P=49 =-=0.4286 4、87 1010 1010
= 40 480 360 120 T 请你为一名诊断有病的人分析一下，他确实患病的 可能性有多大？ 解答 该题目考核灵活应用概率论知识的能力，特别 注意频率与概率概念的差别. 设 A={诊断有病}，B=｛确实有病｝ 需 求 概 率 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P B P AB P B P AB P B P AB p P B A + = = 问题是公式中的各个概率均未知.利用所给数据矩 阵，可计算以下频率值： , 10 4 1000 360 40 ( ) = + f B = 受 检 查 者 本 无 病 检 查 呈 阳 性 的 频 率 值 为 ： , 10 8 120 480 480 = + 受 检 查 者 确 有 病 检 查 呈 阳 性 的 频 率 值 为 ： , 10 9 360 40 360 = + 由贝努里大数定律知，可用频率估计概率，故可以 假设： 10 8 , ( ) 10 9 , ( ) 10 4 P(B) = P AB = P AB = ， 从 而 0.4286 7 3 10 8 ) 10 4 (1 10 9 10 4 10 9 10 4 = = + − p =
四.(基本题目) 某天晚上23:00时,在一个住宅内发现一具受害者 尸体,法医于23:35分赶到现场,立即测得死者体温是 3080°,一小时以后再次测量体温为2910,法医还注 意到当时室温是280,请建立一个数学模型来推断出受 害者的死亡时间 解答应有以下假设: *1房间足够大,室内温度保持不变; 2人体正常温度为37°C(或其它合理范围值) 23:35分受害者已死亡约75分钟,死亡时间约为 22:20 分 五.(基本题目) 位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系 统,需要对现有系统进行分析。现有系统中有5个服务 点,当顾客走进银行,他们可能选择5个服务点中任 个。在繁忙期间,两位顾客到达的平均间隔时间是3分 钟,为一位顾客服务的平均时间为25分钟。 请你为建立模拟模型做以下准备工作: 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间; 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式; 你认为应怎样模拟顾客们的来到? 并且根据你的方法给出相应算法 解答该题的工作分为两部分,为模拟模型做理论 准备,重点是对你的模拟思想进行算法设计 1理论准备 (1)假定服务时间T服从平均值为2.5的指数分布 (即参数=0.4);
四．（基本题目） 某天晚上 23:00 时，在一个住宅内发现一具受害者 尸体，法医于 23:35 分赶到现场，立即测得死者体温是 30.8oc，一小时以后再次测量体温为 29.1oc ，法医还注 意到当时室温是 28oc，请建立一个数学模型来推断出受 害者的死亡时间. 解答 应有以下假设： *1 房间足够大，室内温度保持不变； *2 人体正常温度为 370 C（或其它合理范围值）。 23：35 分受害者已死亡约 75 分钟，死亡时间约为 22：20 分. 五．（基本题目） 一位银行经理为考虑设置一种新的单队列排队系 统，需要对现有系统进行分析。现有系统中有 5 个服务 点，当顾客走进银行，他们可能选择 5 个服务点中任一 个。在繁忙期间，两位顾客到达的平均间隔时间是 3 分 钟，为一位顾客服务的平均时间为 2.5 分钟。 请你为建立模拟模型做以下准备工作： 考虑如何模拟服务员为顾客服务的服务时间； 如何模拟一位顾客走进银行选择服务点的方式； 你认为应怎样模拟顾客们的来到？ 并且根据你的方法给出相应算法. 解答 该题的工作分为两部分，为模拟模型做理论 准备，重点是对你的模拟思想进行算法设计. 1.理论准备 （1）假定服务时间 T 服从平均值为 2.5 的指数分布 （即参数 =0.4）；
或假定服务时间T服从平均值为25的正态分布N (μ,G2),应设定适当的标准差值 (2)可假定顾客随机选择服务点,或选择排队长最 短的服务点 (3)将顾客的来到看成泊松流,即顾客到达的间隔 时间相互独立,都服从参数为1/3的指数分布。 2.在计算机上实现以上模拟,设计算法 六.(分析题目) (狐狸与野兔问题)在一个封闭的大草原里生长着 狐狸和野兔,设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t), 已知满足以下微分方程组 =0.001xy-0.9y, dx 4x-0.02xy dt 建立上微分方程的轨线方程; 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态? 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会 产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果? 解答重点考察对数学表达式与数学结果的分析能 力,其中(1)和(2)问是为第(3)问题做铺垫 (1)从微分方程中消去时间变量t得到轨线方程: 0.90.001x,4-0.02 (re e )=S (2)令=0,=0,解得两个平衡点(0,0)和 (900,200),当草原上的野兔是900只,狐狸是200 只时,两种动物的数量保持平衡状态
或 假定服务时间 T 服从平均值为 2.5 的正态分布 N （ 2 , ），应设定适当的标准差值. （2）可假定顾客随机选择服务点，或选择排队长最 短的服务点. （3）将顾客的来到看成泊松流，即顾客到达的间隔 时间相互独立，都服从参数为 1/3 的指数分布。 2. 在计算机上实现以上模拟，设计算法. 六．（分析题目） （狐狸与野兔问题）在一个封闭的大草原里生长着 狐狸和野兔，设 t 时刻它们的数量分别为 y(t)和 x(t)， 已知满足以下微分方程组 = − = − 4 0.02 . 0.001 0.9 , x xy dt dx xy y dt dy 建立上微分方程的轨线方程； 在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态？ 建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会 产生什么后果？对狐狸进行捕猎又会产生什么后果？ 解答 重点考察对数学表达式与数学结果的分析能 力，其中（1）和（2）问是为第（3）问题做铺垫. （1）从微分方程中消去时间变量 t，得到轨线方程： x e y e S x y = − − ( )( ) 0.9 0.001 4 0.02 （2）令 = 0, = 0 dt dx dt dy ，解得两个平衡点（0，0）和 （900，200），当草原上的野兔是 900 只，狐狸是 200 只时，两种动物的数量保持平衡状态