个模式仅有一个粒子,如图4,1 显然,在绝对零度时,费米子 的分布是很简单的 定义费米动量PF和费米波 数KF有以下关系 A=CNn2KF+m2c2-me(4. 29) =c/Pp+mba2-mc2.(4.30) 图41 因dK=4KdK 放总粒子数 VId'k. K (4.31) 在非相对论情形下,T=0K时,平均能量为 点一<2入 因为 〈K2=KF 故平均能是 E3九2K 27 (4.32) 同样,得到极相对论情形,T≠0K时的平均能量为 E =<hKc>, 3 因为 〈K)=XK 故平均能量
和=4hKpc (433) 如将压强和能量的关系式(4,27)和(428)式表示为压强和密 度的关系,可得到两个重要的结论;在非相对论情形下 (434) 在极相对论情形下 现利用这些理论公式做一些物理的应用运算 例1白矮星 在宇宙中,白矮星是很多的,测量得较准的是天狼星B.它 的质量相当于太阳的质量Me,半径却比太阳的小100倍,和地球 的半径相当.于是在白矮星内的原子半径就是10-19厘米,电了 势必被挤出来,形成简并的费米气状态.可以计算,白矮星内部 受到由引力所造成的压力是很大的.是什么力量支撑不致压垮 呢?这需要做一数量级的估计.为方便计,我们忽略了常数π以 GM2 及10以下的数字.于是白矮星内的吸引力是R2(R是白矮星的 半径),如果是电子气向外膨胀与之相抗衡,则有 GM Rpr (4.36) 户为电子气的压强.如果白矮星的质量不很大,其内部的电子受 到引力的压缩仅达到非相对论情形.在此情形下,压强与密度呈 次方的关系,所以 GM M R Rs
即 roM-i (4.37) (4.37)式是半径与质量的 关系,它可以粗略地表示成图 4.2 REM-1 如果星体质量再进一步增 大,则内部电子势必被压缩成 相对论性电子,当达到极相对 M论情形,压强与密度的3次方 图4,2 成比例,于是有 P2-pP2 E GM Rs R 即 GM.E-hcKENR nc (4.38) 或 GM2N/hc (4.39) 这表明,如超过临界质量M时,则质量与半径之间就没有关系 了,即引力大于抵抗压缩的电子气压力,星球就要压垮,所以, 观察到的白矮星质量一定有一临界值,在此临界质量以下的星 体,其深层内部是极相对论电子,表面或外层电子是非相对论电 子,以此来与引力抗衡 估计白矮星的临界质量是不困难的.熟知原子核是由中子、 质子组成的,每个核子较电子重2000倍,故恒星质量均可认为是 核质量组成的.对于氢,每一个电子就有一质子,对于氦或者更 重的核则每个电子大约相应有两个核子,故 M GMmp'n,)Ac, (4,40) 其中mp代表质子的质量.而
核子数 电子数 对于氢,n=1,对于氮等,”=2 所以临界质量 1/ hc 10-27·3·10 6.7·10-8 (17.10 )~1.7M (4.41) 虽然这样估计很粗糙,但它却能判断出白矮星悬由哪种核物 质组成的.详细计算表明,如果是由氢构成白矮星,则M。~5.6 M⊙,由氮构成,M。~1.4M@.根据天文观察,所有的白矮星的 质量都不超过1,4Mo.它表明白矮星是热核燃料氢烧尽后,转化 为氨的星体.如质量超过14Ma,星体将进一步受到压缩,原子 核内的核子也被挤压出米,电子碰撞质子构成了中子.所以, M。~2Mo就形成了中子星,如果质量超过2.2M@,星体将继续 受到引力的压缩,尽管有核子间的斥力,也无济于事.因为斥力 越大,能量将越大,这种能量本身又是引力源,会进一步导致星 体塌缩.所以,这使人们相信黑是存在的 以上是仅考虑电子气的因素、至于其他因素均可被忽略,这 是由数量级估计做出的结论 这些因素有 (i)温度效应大约为102-103电子伏y (i)核子动能大约为电子动能的10~ (i)势能的涨落约为10°电子伏 而白矮星内的简并电子的动能为10电子伏.故相比之下, 其他因素是完全可以忽略的 例2普通导体中,电子的热力学函数 在普通导体中,原子排列是紧凑的.电子的动能约为数个电 子伏,其大小为10厘米
假设地球表面温庋为300K,热能就相当于0电子伏.它比电 子的动能小得多,故可认为导体中的电子是非常简并的.在普通 固体中势与动能相近.在非导体中的电子就不能任意地运动 在导体中,在布里渊区运动的电子可认为是自由的.在这里不去 详细研究导体的具体性质,我们只是对电子构成的费米子系统进 行统计 每个粒子的吉布斯热力势 =~p(电子伏量级),而 室温h?~和电子伏.显然, ≈e1水1可以认为是零 (4.42) 由前面证明的n=x,其中x=·,知 T=0, T 故每一模式的平均电子数呈一阶跃函数 1当e<|时 4.43) 当e>μ时 在低温时,n2的微商是和函 数差不多的,如图43所示, ae 6(E-).(4,44) 当计算T+0K时的热力学函数时, 应该考虑kT的影响,不过已实 在太小,可以略去 当E=0时,n,=1