§4自由粒子系统 让我们应用以上各种系综的理论分析自由粒子系统的热力学 性质.用巨正则系综的配分函数很容易导出它们全部的热力学函 数及其关系式.这种自由粒子系统的量子理论,对天体物理、低 温和固体物理都有广泛的应用 按粒子性质,可分为费米子和玻色子两种.至于这些气体的 详细力学性质,另由粒子物理去研究,我们只对这些已知的力学 性质进行统计. 由量子力学知,一个自由粒子的状态可以用它的动量P= MK和螺旋性λ来描写.其中K是波数矢量.如果粒子自旋为j 则λ可以取的值为 λ=-j,-j+1,…,j-1, 共有2j+1个值 由于粒子间没有相互作用,所以系统的总能量等于各个粒子 的能量之和(自此,我们不再讨论系综,总能量就是指一系统的 总能量),即 E nae (41) 其中的a表示粒子的波数矢量K和螺旋性λ.动能是 h2K++++ (4.2) 其中的na对不同的粒子是不同的 对费米子:n (4.3) 对玻色子tna=0,1,2,3,… (4.4) 由巨配分函数及易逸度的定义,得 指数的求和可以化成求积.然后,对换求和与求积的次序,得到
(46) 对费米狄拉克统计(F-D),由于粒子受到泡利不相容原理 的限制,n只能取0或1,所以 2rD=I(1+2 对玻色爱因斯坦统计(B-E),因粒子不受泡利不相容原理限 制,故na可取0,1,2,3,…,所以 (4.8) kT 由巨配分函数计算压强时,可取体积很大,以致可以略去界 面与粒子间的作用.所以有 (49) “+”为费米子 士In(1土z 其中 (4.10) “一”为玻色子 当p→∞时,求和号可用积分来代替.其间的关系式已在前面讨 论过,即 ∑→/图F 其中的a是简并度,为2j+1 我们先讨论粒子质量不为零的情形.质量为零的粒子其简并 度不同,并且还与字称是否守恒有关.如j=1,无质量的光子a 不是3,而是2.又如中微子(y)字称不守恒,O不是2,=1,有质置 粒子,当户=时,=2.于是 的=土0Fm(士
只要将关系式8a=c√nK2+m2c2-m2代入(.12)式进行 积分,即可求出适应于非相对论或相对论的热力学函数. 由关系式(3,41)与(4.9)式得到 v-2 a2 kT TRT 8r3 e 1士 T d K Jaz (4.13 T+1 由于巨配分函数少中每一项2ck表示某一模式(a K,)具有n粒了的相对几率。因此,可以求na的乎均值<na〉 对费米子,na只取0或1值 〈na> 0十1 1+2e (4.14) 对玻色子,"可取任意值 l·x+ 1+X十x2 d x In(l +x+ dx 1 (4.15)
其中 将z=ek个代入,可写为 m=士BmrK(1 “+”为费米子 (416) “-”为玻色子, ”为费米子, 7 (4.17) ek7±1-”为玻色子 显然 {d3K<n〉 (4.18) 8x/.aK 419) ±1 E 8 JdK(n〉 4.20) 有了这些公式,我们可以讨论有趣的物理问题 我们知道当粒子的静止质量比动能大得多时,即为非相对论 情形,有 动能ε h2K dK d e (4.21) 当粒子动能远比静止质量为大时,即为极相对论情形,有 动能ε=AcK|, dK∞e2de (422) 在分子运动论中,我们知道单原子理想气体的压强和能量之 间存在以下关系 pV=4E (4.23)
在量子统计中,以上的关系是否成立呢?应该指出在分子运 动论中,两个相同的粒子(如电子)认为是完全可以区分的;在 量子统计中,由于它们是全同粒子,故是完全不可区分的.对求 解(4.18),(4.20)的积分,往往用到下面类型的积分.因此,先 来讨论这类型的积分,对求解是有帮助的 ±e"deln(1±e n+1 7+1 de (4.24) H 1士ekT 其中有简单对应关系 ede→d3K (4.25) 对非相对论情形n=2,对极相对论情形n=2 将(425)左、右乘以n+1,即有对应关系 n+1 e→d3K n+1 (4.26) 于是,立即可以求得能量与压强的关系:在非相对论情形下 E (4.27) 在极相对论情形下 (4.28) (4.27)和(4.28)式,对费米子和玻色子皆成立 先来讨论低温情形下的费米气:由(4.17)式知,T→0K时 当e>,m,=0,即每个模式中均无粒子.当e<4,m=1,即每