de 十1 T(e+1)(e+1) (4.45) 先熟悉以下积分对今后的运算是有益的 ein,de, 10. (4.46) 求平均密度时,取l=2,求平均能量时,取l 2 利用分部积分法,得 e +1n +1a (4.47)式的右边第…项显然是零. E=4+xk7, (4.48) 故(4.47)式可写为 ein, de (+7)+(mn)rdx.(4,49) +1 an 当e=0时,x=,≤0时,a均为零·故下限一67 可代以-∞.(4.49)式可写成 (u+xkT) ktd (4.50) 将(μ+xkT)+展开,遂项积分,并注意到奇函数积分为零 (A+xkr)I*( an.rT d x =##1(-n,二+24-(T) x xdx u+e)(1+e")+ (4.51) 35
x'd 其中 (+)(1+e-)=2]xex(1+-)(4,52) 将(4.52)式被积函数的(1+e)2按物级数展开得 c 2d (1+e")(1+e) 21x2edx1-2e-*+3e-;-…] 11 (4.53) 在积分运算时,用了以下运算技巧 edx 2 将(4.53)式代入(451)式得 ende=HtHI i1+6l(1+1)/kT +….(4.55) 精确计算,可以计算更高次的偶次项 kT 现在我们用级数展开的积分法来计算系统的粒子平均密 度 对于电子,自旋j=2由于在导体内,因此是非相对论性的, h2K 8=2m 式中m是电子质量,实际上电子是与品体间有作用的,因此应该 用有效质量m*来代替m,在这里不准备详细讨论,因为它涉及 到布里渊区的理论问题
系统的乎均粒子数 2j+1 ey dK (456) d K=4zK'dK =2nc /de (4.57) 将(4.57)式代入(4.56)式得 N n,dε (4.58) 根据以前定义过的费米波数Kk和费米能量Er有 KE t h2K F 2m 2 所以有 (4.59) h 取(4.55)式中1=2代入(4.58)式得 J:2 T 2 +8 4)+… (4.60) 3π 比较(4.60)式和(4.59)式得 T 1+g 十 4.61) 两边开3次方得 eF=叫|1+1.2m/kT (4.62) 将μ用ep表示,得 T
因为r仅为密度()的函数,所以由(4.63)式知 (p,T) 即4是密度和温度的函数 例3自由粒子系统的高温低峦度展开 上个例子,讨论了低温情况下的费米予.现在讨论自由粒子 在温度很高,或密度很低情况下的热力学锉质.先引入一个定 义 定义热波长λ , mkT (4.64) 这相当于动能为mA的波长,自由粒子的平均密度取 决于粒子间的距离,令其间的平均值为d 例2是相当于d很小的情况下(d≤λ),它表示动能》kT(热 能).现在的例3恰好相反(d>),即波包很小,d很大,相当于 高温或低密度情形.从公式(4.64)也可看出温度高,A小.密度 低,表示d>λ. 显然系统的总密度小,每个模式内的粒子数就少.由公式 4+”对费米子 eh±1{a-”对玻色子 知,鸩《1,就要eb》1,即a要为负值.故 z=en<1 465) e 所以 e"日 1+2e-p (4.66) 1土ek 利用z《1条件,将m对z展开,即可得到高温低密度下的自由粒 子系统的热力学函数
(2j+1) dKe-(1+ze-B↓z'e-P千…).(1.67) 将dK-4mKdK=4(2m)2√a代入到(67)式, 2 4IT dee2ze-B(1干ze-B z2e-2B…), E=21+1(2m 3 n2/ dee zep(lf2e-p+ z2e-2B+…) 468) 利用a=lB=!T.再令ε=y,所以,dε=2vdy.因此, 2 4.69) edee 470) 将(4.69),(470)式代入(468)式得 r32 费米子取“一”(4.71) E=327(21+yS()+-」玻色子取4+”(72) 2 E 将(472)式代入p=3P式得 kT(2十 (干) (473) 只要将压强写成温度和密度的函数,即得状态方程