考虑到三维方向v=L3→∞时 K (2.51) 再对螺旋度求和 2V 8x d'K (2.52) 由(2.35)式可求出能量 E aB InQ= (2.53) 当y→∞,将(2,53)式写成积分: ho E ldK 先对立体角积分,得出4x囚子,再利用变数变换最后得到 dx E 其中x=6 兀2|T 15c3h 2.55)式表明黑体的能量与尸“成反比,但从实验上我们知道黑体 的能量与绝对温度T成正比,这就证明了T就是绝对温度 例2导证普朗克公式 配分函数中每一项都是相应态的相对几率.由黑体辐射的配 分函数知 1+e e 2.56) 如果在光子的分布{mk,x}中,只考虑某一特定模式K,么的光 子,而不管其他光子的棋式时,那么就有以∮的相对几率: K,λ模式的光子数nK,=}0 对应的对几率为 e-A*e-2s*o
因此,我们可以从配分函数中,取岀任一模式光子的信息.假 如,我们要问某种模式K,A的光子的平均数目第K,x,立即可以写出 1·e-B°+2·ei +3·eˉ kA 1+ 十e a(Bho) -1n1+e 十e 2B韋a m a(Bna In[1 (2.58) 这就是著名的普朗克公式 例3系统能量的涨落 设一系绕有能量交换,温度虽固定,但能量E并不固定. 根据标准的统计涨落公式有 (△E)=CP(E1-E)=〈E>-〈E),(2.59) 其中 E PiE=E> 而 aIn aB ∑aEB=-E (2.60) 从(2.60)式可知InQ对β的一次微商就是负的能量平均值.更巧 妙的是对B的二次微商就是能量涨落的平方. 2InQ 1 aB2 Q Eie/+Q 0B ZOEr ∑P,E1-<E =(△E) 2.61) 再由(2,60)和(2.61)式可得 aE (△E) aB 兵T aT kTIC (2.62)
故能量的相对涨落为 △E RTACE LOWN E (263) 由于C和E都与N成正比,因此只要N足够大能量的相对涨落就 趋于零.所谓N足够大,使得热交换项比起本身可忽略即可,不 定要求N一定非常大的数目.因此,这一结论,对任何系统都 是适用的 小结:到这里,我们得到一个相当广泛的结论:对任何一力 学系统,只要知道这个系统的哈密顿量,并且该系统是与热库有 热交换的,对系统也不做过苛的要求,即不一定包括有103量级 的粒子,唯一的要求是热交换能量比其本身的能量小得多.那么 就可按以下程序计算一切热力学函数 (a)先写出系统的哈密顿量H. H (b)计算算符ek7的迹,即求出配分函数 E Q tracee RT c)由F=- kTinQ计算出系统的亥姆霍兹自由能.再对 F进行各种变量的微商,即可得出一切的热力学函数 在这里对哈密顿量H的要求并无限制,它可能是很复杂的, 但唯一要求就是热交换项可被忽略,以上的办法才是正确的.证 明这个结论用到的唯一假设就是(1.4)式 在证明过程中,关键是引入了“正则系综”的概念,它被想 像成由M个系统组成的.这是做统计问题所必须的,但并不是一 个假设这样计算几率P只有当M(系统数)→∞才是正确的 用这种广泛处理问题的方法,可定出由热力学无法确定的绝对零 度时的熵值 应该看到,在这里我们是不论系统的复杂程度一并加以解决 的.如果首先对系统中的粒子进行讨论,并用自由粒子来展开
那会无法摆脱自由粒子的框框,将会反复无穷的.所以广泛的处 理方法并不是复杂的,反而是简单前 另外一种方法,是从经典统计方学出发.由于经典统计力学 是复杂的,它的变数连续性带来麻烦.从量子统计开始就筒单, 明确.因量子统计状态是分立的、可数的,在经典统计中碰到的 是连续的变量x;dx1,…,由一组义坐标变换成另一组广义坐标 时,雅可俾行列式|J不一定等于1,体积是与所用的坐标有关的, 相空间又是对何坐标而言?因此引用相空间的定义也是有困难 的,所以经典统计本身就有含混之处 自然界的基本原理是简单的,应用却很广泛.如果我们找到 的基本假设是简单的,而应用广泛,那无疑是重要的.现在我们 看到做为理论物理的分支之一,统计力学确实具有这种特色 §3巨正则系综 巨正则系综是推广了的正则系综, 它是用来研究不但交换能,而且交换 粒子的系统,如水与空气之闻交换水分 子,在这里水分子数是不固定的.吉布 斯为了研究这类交换粒子的过程,把热 力学公式推}为 图$1 dE=-pdy +Tds+udN. (3.1) 其中N是粒子数,μ是每个粒子的吉布斯热力势,或称这种 粒子的化学势, N 2) 在这里我们引用了热力学公式(3.1)并不表明统计力学依赖 于热力学.对统计力学,本身完全可以自成体系的,我们引入热 力学公式是说明可以从巨正则系综导出这些热力学公式来 假设由休积矿相等的M个相同的系统组成的系综,每个系统 18
的粒子都是同类的.系统虽相同,但处于不同的位置,所以是可 以区分的.又设每个系统的粒子数是相当大的.图3.2表示M个 系统历组成的系综, 网圆一 图3.9 于是系综的总哈密顿量可以写成每个系统哈密顿量之和,再 加上由于能量交换和粒子数交换的相互作用对哈帘顿量的贡献 a(系综)=∑H+“州互作用项” (3.3) M个系统 只奘每个系统相当大,并不一定要系统无穷大,或者系统不 太大,而交换机制非常微弱,和江作用项完全可以波忽略时,总 的哈密顿量就可写成爷个系统的哈密顿量之和: (系樂)=∑H(系统) (3.4) M个系统 系综的本征态可以写成各个系统本征态之积 y(系综)=Iφ(系统). 令H(N)表示一个系统内有N个粒子的哈密顿量,则衣征值方程 为 H(N)|i(N)〉=E(N)jN)〉 其中」(N)表示系统中有N个粒子时第氵个本征态.E;(N)表 示系统有N个粒子时,H(N)的第j个本征态的本征值 由于在系统间粒子数和能量均可交换,所以每个系统的粒子 数N和所处的态都是不确定的 令Mm表示系综中,具有粒子数N并处在|(N)态上的系 ↓9