复旦大学：《数学分析》教案讲稿_关于微分同胚的应用

教案:关于微分同胚的应用 教案:关于微分同胚的应用 课程:《数学分析(Ⅱ)》(一年制,面对力学类等) 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:基于微分同胚,将几何形态不规则的物理区域上的控制方程转化至几何形态 规则的参数域上的控制方程 2.知识要素(教学内容细致目录) ①微分同胚的充分必要性条件。实际应用中常用充分性 fx∈C"D,(CRm),Rm s.t.1)f(x)在D,上为单射,则有f(x)∈C"D;f(D) 2)D(x)∈Rm非奇异 注:此时,f(D)cR为开集;f(x)实现D,同f(D)之间的双射:f(y)∈Cf(D,)Rm ②由∫f(x)=x,Ⅵx∈D,由于∫(y)以及∫(x)均可微,按复合映照的可微性定理,有: D∫1f(x)D(x)=Ln,故有:D1f(x)=D(x), D 亦即 f(x) 3.应用事例 事例1:非规则平面管流 第1页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 1 页 共 13 页 教案：关于微分同胚的应用 课程：《数学分析（Ⅱ）》（一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：基于微分同胚，将几何形态不规则的物理区域上的控制方程转化至几何形态 规则的参数域上的控制方程。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 微分同胚的充分必要性条件。实际应用中常用充分性。 ( ); p m m C x f x s.t. 1) f x( ) 在 x 上为单射，则有 ( ) ; ( ) p x x f x C f 2) ( ) m m Df x 非奇异 注：此时， ( ) m x f 为开集； f x( ) 实现 x 同 ( ) x f 之间的双射； 1 1 ( ) ( ); m x f f y C ② 由 1 ( ) , x f f x x x ，由于 1 f ( ) y 以及 f x( ) 均可微，按复合映照的可微性定理，有： 1 ( ) ( ) Df f x Df x Im，故有： 1 1 Df f x Df x ( ) ( ) ， 亦即： 1 1 1 1 1 , , , , ( ) , , , , m m m m D x x D y f x D y D x y x y 3. 应用事例 事例 1：非规则平面管流

教案:关于微分同胚的应用 L Stepl:建立C微分同胚,将几何“不规则”的物理区域变换为几何“规则”的参数域, 作 5, g(5)+n((5)-g(5) (5,n)eC"(①y:D) 当/()g()∈C0D),则有(5n)∈C(2R2 ①易见,n在Dn上为单射(结合几何特点) g(5)+m((5)-8(5)(-g( 有etD,5,n=f()-g()≠0如∈,故有:5,n∈CDD-° Step2:获得参数域上的控制方程 设有(x,y)定义于Dn,st.c(xy)+。"(xy)=0 ①由于n 间为及,则有-(团)=(2((,由匙 我们对应有参数域D上的函数v(,n) 第2页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 2 页 共 13 页 y o x f ( ) x g( ) x   0 1 L xy Step1：建立 p C 微分同胚，将几何“不规则”的物理区域变换为几何“规则”的参数域。 作 ：       , , , ( ) ( ) ( : ) x y g g f x y ∋                                         ，需验证  ,   ;  p xy x y C           。 当 ( ), ( ) (0, ) p f g C L ，则有     2 , ; p x C y          ① 易见 , x y 在 上为单射（结合几何特点） ②       0 , , ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) x x y y g f g f g x D y                                                      有 det ( ) ( ) 0, , x D f g y ，故有： , ; p xy x x C y y 。 Step2：获得参数域上的控制方程 设有 ( , ) x y 定义于 xy ，s.t.     2 x y x y , , 0 x y x y             ① 由于 x y                之间为双射，则有 ( ) ( ) : ˆ( ) ( ) ˆ x x x y y y                                                             。由此 我们对应有参数域  上的函数    ˆ( , )

教案:关于微分同胚的应用 ②获得v(5,m,y3∈Dn的控制方程一一利用链式求导法则 利用关系式v(x,y)=(5(x,y)m(x,y),则有 (,n)(x,y)+-(5,)-(x,y) ay (x,y)=-(5,m)-(x,y)+(5,m)-(x,y) 由 0 anan (5,n) g(5)+n((5)-8(5)f(5)-g(5) 1|f-g-g-n( f-g 0 (g-/)-g 故有 (x,y)=(5,m)+(5 n(8-)(5)-8() (f-g)(5) (f-g)(5)o 进一步计算 5,) axa (5,n) ax( ay (f-g)(5)on”(-g)(5 (5,n) ay 05n (x,y)+2(5,m)x(x,y) (f-g)(5) 5,n) an(f-g)(s(ds dg (m)+=n(g-八)<-s(5) ∫-g)(5) 第3页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 3 页 共 13 页 ② 获得 ˆ( , ),               的控制方程——利用链式求导法则 利用关系式     ( , ) ( , ), ( , ) x y x y x y  ˆ   ，则有 ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y x y x x x x y x y x y y y y                                                     由             1 1 0 , ( 1 , 0 1 0 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x x x y y y g f g f g x y g f g f g f g g f g g f g f g f x y f g f g g                                                                                                                      故有：         ( ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ˆ ˆ 1 1 ˆ ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) g f g x y x f g x y y f g f g                                                             进一步计算         2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ˆ ˆ 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ˆ 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ˆ ˆ ( , ) ( , x x x y x y x y x y f g f g x y x y x x f g dg x y d d x df f g                                                                                                                  2 ( ) ( ) 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ ( , ) ( ) g f g f g f g f g f g                          

教案:关于微分同胚的应用 将上述表达式代入(x,y在n的P、0c(x0 o(x)=0,即可得(5,n)在Dn的 PDE。 DncR2几何形态规则,则便于数值求解v(5,n),当获得v(5m),则有v(xy)=1(xy) 注:一般我们认为(x,y)∈C(Dn,R),故可有(xy) aa(xy),∈Dn,故可对 0(9(x,)可选择形式简单的一个,而计(xy或(xy) 事例2:轴对称非规则圆管内的流动 Step1.建立CP- diffeomorphism aR(ncoS y(ep:Dmn30→ybR(n)sine∈R3 此处Dmn为开方块 A77 H (开方块) 第4页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 4 页 共 13 页 将上述表达式代入 ( , ) x y 在 xy 的 PDE：     2 x y x y , , 0 x y x y             ，即可得    ˆ( , ) 在  的 PDE。 2   几何形态规则，则便于数值求解    ˆ( , ) ，当获得    ˆ( , ) ，则有 ( , )= x y ˆ ( , ) x y                 。 注：一般我们认为 2 ( , ) ; ( ) p xy  x y C ，故可有     2 2 , = , , xy x x y x y x y y x y                 ，故可对  x y,  x   或  x y,  y   可选择形式简单的一个，而计算   2 x y, y x     或   2 x y, x y     。 事例 2：轴对称非规则圆管内的流动 Step1. 建立 p C -diffemorphism 3 ( ) ( ) cos : ( ) ( )sin x y z x R y R z                                                                              ∋ 此处  为开方块。 z o x y  o   H 2 1 ( )  开方块 H R z( ) 

教案:关于微分同胚的应用 x2 ①显见y0b为 Den CR3的单射。 axax ax aR(n)cos -R()sin 2R()cos 8 Dyap=/ov ay ay 8=R(n)sing 2R(n)cos 0 aR(n)sin 0 0 a a8 an 有 edDy e)=det R(ncos 8 -r(nsing R() sine r(n)o/=R2(m)≠0,ye\∈Dm yIn 故有y(0D∈CDmn:Dn3y(D2),此处需具体澄清D。的区域,未包含整个管道内 yIn y 部 Step2.获得参数域上的PDE ①由f(y)=/(yb=(Ny y nly ②由关系式f(y)=f(y按复合映照可微性定理,有D(yb=D(0pDy) 7[n 考虑到D6ypDy,则有D(yp)=D(0Dye nJ y[7 y yIn R(n)cos0 -R()sing aR(n)cos 8 a ab on(, 0,Rn in0 AR(n)cos0 R()sine R( 8 -R(nsin B R(ncos 8 AR(COSB -R(nsin 8 0 可有R(m) )sin /R(m)cosR(m)sinO ARn Rn 8 AR 2 2R LR(COS B R(nsin 8 RR AR- -R(nsin 8 R(n)cos 8 0 第5页共13页

教案：关于微分同胚的应用 第 5 页 共 13 页 ① 显见 ( ) x y z                        为 3   的单射。 ② ( )cos ( )sin ( )cos ( ) ( ) ( )sin ( )cos ( )sin 0 0 1 x y z x x x R R R y y y D R R R z z z                                                                                                               有 2 ( )cos ( )sin 0 , ( )sin det ( ) de co ( ) s t ( ) R R R R R x D y y                                                              故有 ( ) ; ( ) p xyz x x y y y y C                                               ，此处需具体澄清 xyz 的区域，未包含整个管道内 部。 Step2. 获得参数域上的 PDE ① 由 ( ) ( ( )) ( ( ˆ )) x x x f y f y y y f y y                                                           ② 由关系式 ˆ ( ) ( ( )) x x f y y y f y                                   按复合映照可微性定理，有 ˆ ( ) ( )? ( ) x x Df y D D y y y f                                                考虑到 ( )= ( ) x x D y D y y y                                                          ，则有 ˆ ( ( ) ( )? ) x x Df y D D y y f y                                                           亦即 ( )cos ( )sin ( )cos ˆ ˆ ˆ ( )s ( , , ) ) , , ? in ( )cos ( )sin 0 1 ( 0 R R R f f f f f f R R y x R z z x y                                                            可有 2 2 2 ( )cos ( )sin ( )cos ( )cos ( )sin 0 1 ( )sin ( )cos ( )sin ? ( )sin ( )cos 0 0 0 1 0 T R R R R R R R R R R R RR R                                                       2 2 2 ( )cos ( )sin 1 · ( )sin ( )cos 0 0 0 R R RR R R R R                         