911 h1-91E h12-92E . T! 922·92N h21-9p1t h22-922 h2N -g2N . . = 9N1 9N2.9NN hNI-9NIT hN2-gN2T . hnn -gnn T t(a) 0 t(a) 0 (a) 0 令=入，得方程组3)的特征方程 hi1-Agi h2-Ag2.hin-AgiN h21-g21h22-A922·hn2N-Ag2N A= =0 hN1-AgN1 hN2 -AgN2.ANN -AgNN 即方程组(3)的特征方程为 a1i92-Ag2· 台a1gN-AgIN 29-g2 292-92 39N-2 =0 按行列式乘法得 a11-Aa12 . a21a22-入. 921922. 92N A= . . . =0 . . . . . 9NN 又行列式l≠0故△-0对应于 laij-6jl=0 11
= g11 g12 · · · g1N h11 − g11 x 0 t 0 h12 − g12 x 0 t 0 · · · h1N − g1N x 0 t 0 g21 g22 · · · g2N h21 − g21 x 0 t 0 h22 − g22 x 0 t 0 · · · h2N − g2N x 0 t 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · gN1 gN2 · · · gNN hN1 − gN1 x 0 t 0 hN2 − gN2 x 0 t 0 · · · hNN − gNN x 0 t 0 t 0 (σ) 0 t 0 (σ) 0 . . . . . . t 0 (σ) 0 ✲ x 0 t 0 = λ➜✚➄➜⑤(30 )✛❆✍➄➜ ∆ = h11 − λg11 h12 − λg12 · · · h1N − λg1N h21 − λg21 h22 − λg22 · · · h2N − λg2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · hN1 − λgN1 hN2 − λgN2 · · · hNN − λgNN = 0 ❂➄➜⑤(3)✛❆✍➄➜➃ ∆ = P N i=1 a1igi1 − λg11 P N i=1 a1igi2 − λg12 · · · P N i=1 a1igiN − λg1N P N i=1 a2igi1 − λg21 P N i=1 a2igi2 − λg22 · · · P N i=1 a2igiN − λg2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · P N i=1 aN igi1 − λgN1 P N i=1 aN igi2 − λgN2 · · · P N i=1 aN igiN − λgNN = 0 ❯✶✎➟➛④✚ ∆ = a11 − λ a12 · · · a1N a21 a22 − λ · · · a2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · aN1 aN2 · · · aNN − λ g11 g12 · · · g1N g21 g22 · · · g2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · gN1 gN2 · · · gNN = 0 q✶✎➟ |gij | 6= 0 ✙ ∆ = 0 é❆✉ |aij − δijλ| = 0 11
即为原方程(1)的特征方程(2).即经过未知函数的可逆线性变换，方程组（①）的特征方向保持不变 6.证明：方程组(2.1)在每一点的特征线方向（或特征曲线）经过自变量的任何可逆变换后就变 成变换后方程组在对应点的特征线方向（或特征曲线），即特征线方向（或特征曲线）对可逆坐标变 换具有不变性. 么=费+立2+方+6=06=12，州 9=1 J=1 其中：：G均为（化，）的相当光滑的函数 设特征曲线为工=x),即其上任一点有 其中入为特征方程a-6g-0的根 作可逆变换 y=x,) T=T(E,t) (任，)平面上的特征曲线x=x(),经可逆变换得到(，)平面上的曲线y=(),今求y=()上 各点的切线方向。因沿工=x()有 Jy=v(=(t).t) =T((t),t) 华 + 即沿y=)有 dy +如 + () 现在需件证明它是经过可逆变换后所得到的方程的特征方向 对原方程进行可逆变换y=红，)，T=T(红，) 白
❂➃✝➄➜(1)✛❆✍➄➜(2). ❂➨▲➍⑧➻ê✛➀❴❶✺❈❺➜➄➜⑤(1)✛❆✍➄➉✂➧Ø❈. 6. ②➨➭➄➜⑤(2.1)✸③➌✿✛❆✍❶➄➉↔➼❆✍➢❶↕➨▲❣❈þ✛❄Û➀❴❈❺Ò❈ ↕❈❺➄➜⑤✸é❆✿✛❆✍❶➄➉↔➼❆✍➢❶↕➜❂❆✍❶➄➉↔➼❆✍➢❶↕é➀❴❿■❈ ❺ä❦Ø❈✺. ② Li ≡ ∂ui ∂t + X N j=1 aij ∂uj ∂x + X N j=1 bijuj + ci = 0 (i = 1, 2, · · · , N) Ù➙ aij , bij , ci þ➃ (t, x) ✛❷✟✶✇✛➻ê. ✗❆✍➢❶➃ x = x(t)➜❂Ùþ❄➌✿❦ dx dt = λi Ù➙ λi ➃❆✍➄➜ |aij − δijλ| = 0 ✛❾ ❾➀❴❈❺ y = y(x, t) τ = τ (x, t) (x, t) ➨→þ✛❆✍➢❶ x = x(t)➜➨➀❴❈❺✚✔ (y, τ ) ➨→þ✛➢❶ y = y(τ )➜✽➛ y = y(τ ) þ ❼✿✛❷❶➄➉. Ï÷ x = x(t) ❦ y = y(x(t), t) τ = τ (x(t), t) ✙ dy dτ = ∂y ∂t + ∂y ∂x dx dt ∂τ ∂t + ∂τ ∂x dx dt ❂÷ y = y(τ ) ❦ dy dτ = ∂y ∂t + ∂y ∂xλ1 ∂τ ∂t + ∂τ ∂xλ1 (∗) ②✸■❻②➨➜➫➨▲➀❴❈❺↕✚✔✛➄➜✛❆✍➄➉. é✝➄➜❄✶➀❴❈❺ y = y(x, t), τ = τ (x, t) ∂ui ∂t = ∂ui ∂τ ∂τ ∂t + ∂ui ∂y ∂y ∂t 12