第九章重积分 第三节三重积分 一、三重积分根念 3引例设一物体古有空问区城Q,在2中每一点(x,y,2)处密度为(x,y,2）,其 中(x,y,2)>0且连续，求该物体的质量m, ①分割将空间区城2任意分成个小区城：△以，△以，.，△y。,这里△既表 示第：个小区城又表示第：个小区域的体积。对应△y的部分的质量为△州，则有 △ ②取近似在△4中任取一点(，7,5，)i=1,2,.,为 △%，sp(5,n,5)△y 0是，宫4na-归字a0咖 2为△叫，△%，.，△y,中直径的最大者 定设f(x,y,z)是空间有界闭驱城2上的有界函数，将2任意分成”个小闭区城 △以，△y,.,△y,其中△y既表示第i个小区域又表示它的体积.在每个△？上任 取一点（传，4,5），作乘积f(传，4，)△y（i=1,2.,n),并作和 立了（怎，m,5)△y,如果当每个小闭驱城直径中的最大值元→0时的3用总存在， 则称此极限为函数f(红，儿，z)在闭驱域Q上的三重积分，记作川f(红，y,2),即
1 第 九 章 重 积 分 第三节 三重积分
∬xy,h=典2f6 其中称为体积元索，x,y,z称为积分变量，区城Q称为积分区感，了(x,y,z)被 积函数 说明1卩在直角坐标系下，加=dxd出 于是∬f(xy.2w=∬fxy,2)dk地 2°空间物体的质量m=∬o(x,z 如果在空间闭驱城0上/(k,y2=1则∬少=空司驱城Q的 体积 4°关于三重积分的存在性及基本性质和二重积分相类似。 二、三重积分的计算方法 1.利拥直角坐标计慎三重积 方法：化为算一个定积分和一个二重积分. (1)设积分区城2满足：上下底面分别为连续曲面z=(x, z=2(x,月，区城Q在xQy面上的投影驱城为D,即区城个z 2=22(x,月 2:z1(x,y)≤z≤z2(x,),(x,y)∈D 则有下列计算公式： ∬xy.aw=∬yx,y.a也 z=21(x,y) 例1计笪1=川xd红其中2为三个坐标面及x+2y+2=1所围或的区 解1=∬xd地=∬红”x
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=1-x-20h =时宁0-2w= 例2计算1=∬dx地其中0：x20,y20,220,2+y+2≤R2 1-∬2h2=儿应 =网a-2-P -R-ra“四teoe亮 例3计算1=川xzd地其中2是由平面z=0,2=y,y=1以及抛物啦 面y=x2所围威. 解1=∬adkt =∬aat =∫小xa=0 (2)设分区感2满足：在z轴上的投影区间为[G1,】(即积分区城夹在两 平面z=G1、z=C2之间)，对z轴上[G,C2]内任一点z,作平行于x0y面的 个2 平面，该平面截区城2得一平面区城D,即 Q={x,y,zkx,y)eD,c1≤z≤c2} 则有下列计算公式：
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∬y.w=y, 对例2由于：D,的面积=（号因面积）-牙(R2-2),放 h恤==原-R2-=石 :1=∬a咖==时学动最 对例3用此方法不易计算 例4计算1=∬z2女小出其中Q是由椭球面 22 围成。 1-at-厚小可e0-e智 如用前一个积分公式计算则比较麻烦，用哪一个积分公式要看积分区域，兼被积 函数是什么来定。 2.利用壮面坐标计草三重粉 在二重积分计算中，由积分区城的特点及被积函数的特点，有时用极坐标来计算简 单。对于三重积分来说，也有相应的问题 空间柱面坐标系就是平面极坐标加上z轴。对于空间一点M(，y,z)可以用 口，日，z三个量来确定，（只，日，z)叫做点M的面坐标。个2 Mx,2) 柱面坐标与直角坐标的关系为： [x=pcos日 0≤p<+o0 y=pm9,其中0≤8≤2 Z=2 -G0<Z<100 y
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在柱面坐标系中，三组坐标面分别为： 口=常数A,即以z轴为轴的圆柱面〔x2+y2=A2) =常数，即过z轴的半平面（上=tan=常数 z=常数20，表示平面. 在柱面坐标系下， ∬fxy,a)d的能式是什么？ 为此，用一族同轴圆柱面（P=常数)，一族有共同边 的半平面（日=常数），一熊平行于x0y面的平面(z= 常数)去分害积分区域Q,把区域Q分成许多小区域，考虑典型的小区域，它可以看 成是由半径为r和r+的两个圆柱面，极角为和日+d8的两个半平面，高度为 和z十让的两个平面所围成。通过以曲代直，可以把这个小区城看成一个小长方体，它 的三边长分别为：dp,ad日，d正 利用元索法，可得体积元索为dy=dad,于是 J∬fxy,ad=j∬f(ocos8,)d 22(0,) 如果积分区城2（如图所示）的 上部曲面用极坐标表示为：z=22(,) 下部曲面用极坐标表示为：2=21(0，) 则有计算公式： 1w-小o 侧5计丝到∬公2+y,其中0是由曲面2+y2=2与平面 z=h(h>0)所围成。 解圆面x2+y2=z2的柱坐标方程为：乙 =x2+y +y2=h2
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