其积分曲线即特征线，沿特征线成立者关系式 +,t四=0 2.求下列一阶方程带初始条件叫=0-()的柯西问题的解： 回况+需=u 解() =+0-0 叫=0=( 特征方程，密=1特征线C:r-t=6沿特征线C有=0故沿C,“=omt,由始 值t=0=p(r)知沿特征线x-t=c有 u(r,t)=p(rc) 其中xe为特征线x-t=c与t=0的胶点的x坐标即xe=c.所以(r)=()=(红-)，即 u(，)=p(红-) (2) 贺+器-. 4t=0=p) 沿特征线工-t=c有院=，即 u(,t)Ae 由始值得P(红)=A,e仍表示x-t=c与t=0交点的x坐标，即A=p(C=c-)所似 u(红，t)=p(x-t)e 3.判断方程凯 架-t,密-e器+h 架-密+ae器+拉
Ù➮➞➢❶❂❆✍❶➜÷❆✍❶↕á❳✬❳➟ Du Dt + b(x, t, u) = 0 2. ➛❡✎➌✣➄➜➅Ð➞❫❻ u|t=0 = ϕ(x) ✛❹Ü➥❑✛✮➭ (1)∂u ∂t + ∂u ∂x = 0➯ (2)∂u ∂t + ∂u ∂x = u ✮ (1) ∂u ∂t + ∂u ∂x = 0 u|t=0 = ϕ(x) ❆✍➄➜➭ dx dt = 1➜❆✍❶ C : x − t = c➜÷❆✍❶ C ❦ Du Dt = 0 ✙÷ C➜u = const➜❞➞ ❾ u|t=0 = ϕ(x) ⑧÷❆✍❶ x − t = c ❦ u(x, t) = ϕ(xc) Ù➙ xc ➃❆✍❶ x − t = c ❺ t = 0 ✛✂✿✛ x ❿■❂ xc = c. ↕➧ ϕ(xc) = ϕ(c) = ϕ(x − t)➜❂ u(x, t) = ϕ(x − t) (2) ∂u ∂t + ∂u ∂x = u u|t=0 = ϕ(x) ÷❆✍❶ x − t = c ❦ Du Dt = u➜❂ u(x, t) = Aet ❞➞❾✚ ϕ(xc) = A, xc ❊▲➠ x − t = c ❺ t = 0 ✂✿✛ x ❿■➜❂ A = ϕ(c) = ϕ(x − t) ↕➧ u(x, t) = ϕ(x − t)e t 3. ✞ä➄➜⑤ ∂u1 ∂t = a(x, t) ∂u1 ∂x − b(x, t) ∂u2 ∂x + f1 ∂u2 ∂t = b(x, t) ∂u1 ∂x + a(x, t) ∂u2 ∂x + f2 6
属于何种类型。 解方程组的特征方程为 -a(x,t)-入bx,t) =0 -b(红，t) -a(红，)- 公 (a红，t)+2+2(红，t)=0 ()当（红，）≠0.则特征方程无实根入，方程为椭圆型的. (2)当（红，）=0.则A1=2=-,)是两个实特征方向，即两条特征线重合，皆满足 密专 沿特征线有 尝+尝 即得，兴=九瓷=及为对征型方血、方程组为双曲的。 4.将下列各方程组化为对征型方程组： ++++红=0 u () +u=0 资=+a>0 0+60+0-0 ③)+50+62=2 +6尝-=2+3- 解(1)特征方程 (1+sin-)=0 所以 1=1+sinx,2=0 7
á✉Û➠❛✳. ✮ ➄➜⑤✛❆✍➄➜➃ −a(x, t) − λ b(x, t) −b(x, t) −a(x, t) − λ = 0 ❂ a(x, t) + λ 2 + b 2 (x, t) = 0 (1)✟ b(x, t) 6= 0➜❑❆✍➄➜➹➣❾ λ➜➄➜➃ý☛✳✛. (2)✟ b(x, t) = 0➜❑ λ1 = λ2 = −a(x, t) ➫ü❻➣❆✍➄➉➜❂ü❫❆✍❶➢Ü➜✛÷✈ dx dt = −a(x, t) ÷❆✍❶❦ ∂u1 ∂t + ∂u1 ∂x dx dt = f1 ∂u2 ∂t + ∂u2 ∂x dx dt = f2 ❂✚➭ Du1 Dt = f1, Du2 Dt = f2 ➃é✍✳➄➜⑤➜➄➜⑤➃❱➢✳✛. 4. ò❡✎❼➄➜⑤③➃é✍✳➄➜⑤➭ (1) ∂u ∂t + (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + x = 0 ∂v ∂t + u = 0 (2) ∂u ∂t = x ∂u ∂x + ∂v ∂x ∂v ∂t = a 2 ∂u ∂x + x ∂v ∂x (a > 0) (3) ∂u1 ∂t + 6 ∂u1 ∂x + 5 ∂u2 ∂x = 0 ∂u2 ∂t + 5 ∂u1 ∂x + 6 ∂u2 ∂x = 2u1 3 ∂u3 ∂t + 6 ∂u3 ∂x − 3 ∂u1 ∂x = 2u2 + 3u3 − 3u1 ✮ (1)❆✍➄➜ 1 + sin x − λ 2 0 −λ = 0 ❂ λ(1 + sin x − λ) = 0 ↕➧ λ1 = 1 + sin x, λ2 = 0 7
相应于1的特征向量(A巴，A)满足方程 2A-(1+sinx)A2=0 得 λ09=1+sinx,A2=2 相应于2的特征向量(，2)满足方程 (1+sin))=0 得9=0,2是任意的，不妨取2=1 值L1+A2L2,其中L1,2分别表示方程组中的两个方程，得 1+血(+1+血+2架++2赛+0=0 1+血到0+2贺+1+咖(+s血0+）)+2u+0+n=0 值L1+②L2得 贺+u=0 取 [U=1+mx+2如 V=0 则u=(U-2V)/1+si血，以上两个方程化为 0++血0+2w-20+aa+0+血r=0 +(-2/1+s血)=0 即得对角型方程组 受+是+中W-+0+血加=0 2 (2)特征方程为 -x-1 =0 -a2-
❷❆✉ λ1 ✛❆✍➉þ (λ (1) 1 , λ(2) 1 ) ÷✈➄➜ 2λ (1) 1 − (1 + sin x)λ (2) 1 = 0 ✚ λ (1) 1 = 1 + sin x, λ(2) 1 = 2 ❷❆✉ λ2 ✛❆✍➉þ (λ (1) 2 , λ(2) 2 ) ÷✈➄➜ (1 + sin x)λ (1) 2 = 0 ✚ λ (1) 2 = 0, λ(2) 2 ➫❄➾✛➜Ø➈✒ λ (2) 2 = 1 ❾ λ (1) 1 L1 + λ (2) 1 L2➜Ù➙ L1, L2 ➞❖▲➠➄➜⑤➙✛ü❻➄➜➜✚ (1 + sin x) ∂u ∂t + (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + x + 2(∂v ∂t + u) = 0 ❂ (1 + sin x) ∂u ∂t + 2 ∂v ∂t + (1 + sin x) (1 + sin x) ∂u ∂x + 2 ∂v ∂x + 2u + (1 + sin x)x = 0 ❾ λ (1) 2 L1 + λ (2) 2 L2 ✚ ∂v ∂t + u = 0 ✒ U = (1 + sin x)u + 2v V = v ❑ u = (U − 2V )/(1 + sin x)➜➧þü❻➄➜③➃ ∂U ∂t + (1 + sin x) ∂U ∂x + 2(U − 2V )/(1 + sin x) + (1 + sin x)x = 0 ∂V ∂t + (U − 2V )/(1 + sin x) = 0 ❂✚é✍✳➄➜⑤ ∂U ∂t + λ1 ∂U ∂x + 2 1 + sin x (U − 2V ) + (1 + sin x)x = 0 ∂V ∂t + λ2 ∂V ∂x + 1 1 + sin x (U − 2V ) = 0 (2)❆✍➄➜➃ −x − λ −1 −a 2 −x − λ = 0 8
即 (z+A2-a2=0 所以 1=-x+a,=-x-a 相应于皆特征向量(，)满足方程 -aλ0-a22=0 0=a,2=-1 相应于2皆特征向录(，)满足方程 aλ09-a242=0 得 0=a,2)=1 作AL1+2L2,得 贺-贺+(d2-0+e-0-0 即 费-架+a-完-=0 作L1+2L2,得 0+阳+(-2-%+(-r-0 即 批+贺+(-a-+)=0 取U=au-,V=au+v得对角型方程组 ∫+肥=0 (+=0 5.证明：经过未知函数皆任何实系数皆可逆线性变换，方程组(21)在每一点皆特征线方向（或特征曲 9
❂ (x + λ) 2 − a 2 = 0 ↕➧ λ1 = −x + a, λ2 = −x − a ❷❆✉ λ1 ✛❆✍➉þ (λ (1) 1 , λ(2) 1 ) ÷✈➄➜ −aλ(1) 1 − a 2λ (2) 1 = 0 ✚ λ (1) 1 = a, λ(2) 1 = −1 ❷❆✉ λ2 ✛❆✍➉þ (λ (1) 2 , λ(2) 2 ) ÷✈➄➜ aλ(1) 2 − a 2λ (2) 2 = 0 ✚ λ (1) 2 = a, λ(2) 2 = 1 ❾ λ (1) 1 L1 + λ (2) 1 L2➜✚ a ∂u ∂t − ∂v ∂t + (a 2 − ax) ∂u ∂x + (x − a) ∂v ∂x = 0 ❂ a ∂u ∂t − ∂v ∂t + (a − x)(a ∂u ∂x − ∂v ∂x) = 0 ❾ λ (1) 2 L1 + λ (2) 2 L2➜✚ a ∂u ∂t + ∂v ∂t + (−a 2 − ax) ∂u ∂x + (−x − a) ∂v ∂x = 0 ❂ a ∂u ∂t + ∂v ∂t + (−a − x)(a ∂u ∂x + ∂v ∂x) = 0 ✒ U = au − v, V = au + v ✚é✍✳➄➜⑤ ∂U ∂t + λ1 ∂U ∂x = 0 ∂V ∂t + λ2 ∂V ∂x = 0 5. ②➨➭➨▲➍⑧➻ê✛❄Û➣❳ê✛➀❴❶✺❈❺➜➄➜⑤(2.1)✸③➌✿✛❆✍❶➄➉↔➼❆✍➢ 9
线所保持不变，因此也不会改变方程组(21)所属的类型。 证 40+立警+2+a=06=12. (1) 其中a),均为（化，）的相当光滑的函数.方程组L:=0的特征方程为 laij-6jl =0 (2) 现作变换 k=1 其中为实数且行列式9≠0.即以上线性变换是可逆的，代人原方程组，得V满足以下方程组 玄费+22警+2空a+6-0《-2.刘 (3) k=1=1 k11 则以上方程组写成 (3) k■1 k■1 现在求出该方程组的特征方程，设有一光滑曲线c:t=(a),x=x(a),(化(a)+x2(a)≠0)， 若M在c上的数值是已知的K=f.现在性求沿c的一阶偏导数严，业的数值 清e有，警o+墨0=o.与聚方程联这特关于蛋死的线在代数方程 组，若其系数行列式为零，则不能由此难一地确定号数器沿e的位，。即为特征线，方随 的系数行列式为 921 . . . . . . . 9N2 . gNN hN1 hN2 t(a) x'(a) t(a) r'(a) t(a) (c)
❶↕✂➧Ø❈➜Ï❞➃Ø➡❯❈➄➜⑤(2.1)↕á✛❛✳. ② Li ≡ ∂ui ∂t + X N j=1 aij ∂uj ∂x + X N j=1 bijuj + ci = 0 (i = 1, 2, · · · , N) (1) Ù➙ aij , bij , ci þ➃ (t, x) ✛❷✟✶✇✛➻ê. ➄➜⑤ Li = 0 ✛❆✍➄➜➃ |aij − δijλ| = 0 (2) ②❾❈❺ ui = X N k=1 gikVk Ù➙ gik ➃➣ê❹✶✎➟ |gik| 6= 0➜❂➧þ❶✺❈❺➫➀❴✛➜➇❁✝➄➜⑤➜✚ Vi ÷✈➧❡➄➜⑤ X N k=1 gik ∂Vk ∂t + X N k=1 ( X N j=1 aijgjk) ∂Vk ∂x + X N k=1 ( X N j=1 bijgjk)Vk + ci = 0 (i = 1, 2, · · · , N) (3) ❑➧þ➄➜⑤✕↕ X N k=1 gik ∂Vk ∂t + X N k=1 hik ∂Vk ∂x + X N k=1 likVk + ci = 0 (30 ) ②✸➛Ñ❚➄➜⑤✛❆✍➄➜➜✗❦➌✶✇➢❶ c : t = t(σ), x = x(σ), (t 02 (σ) + x 02 (σ) 6= 0)➜ ❡ Vi ✸ c þ✛ê❾➫➤⑧✛ Vi = fi(σ)➜②✸✺➛Vi ÷ c ✛➌✣➔✓ê ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ✛ê❾. ÷ c ❦➜ ∂Vi ∂t t 0 (σ) + ∂Vi ∂x x 0 (σ) = f 0 i (σ)➜❺✝➄➜⑤(30 )éá✚✬✉ ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ✛❶✺➇ê➄➜ ⑤➜❡Ù❳ê✶✎➟➃✧➜❑Ø❯❞❞➁➌✴✭➼✓ê ∂Vi ∂t , ∂Vi ∂x ÷ c ✛❾➜c ❂➃❆✍❶➜➄➜⑤ ✛❳ê✶✎➟➃ g11 g12 · · · g1N h11 h12 · · · h1N g21 g22 · · · g2N h21 h22 · · · h2N · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · gN1 gN2 · · · gNN hN1 hN2 · · · hNN t 0 (σ) x 0 (σ) t 0 (σ) x 0 (σ) . . . . . . t 0 (σ) x 0 (σ) 10