第一章信号与系统 dx(t) =--[e(t+x)-c(t)]--[a(t+r)-0(t)] =--[e(t+π)-e(t)]+8(t+r) dr,(t) costle(t)-e(t-r)+sint[o(t)-8(t-r)I E(t)-e(t-π)] y()=1(2=-1e(t+x)-c()+osie()-(t-x)]+a(t+x) (=(2+2)+2-1+(2-2)=-2 dn1(2=1c+2)-e(1+(2+)[a(+2)-a(m) (t)]+(t+2) dr, (t) r()-(-2)1+(2-2)[0-a(-2)1 e(t)-ε(t-2)]+28(t)-(t-2) df(t) y()=ds[e(t+2)-2e(t)+c(t-2)]+6(t+2)-a(t-2) ●.9已知信号的波形如图1-16所示,分别画出f(1)和当(的波形 图1-16 (b) 图1-17 分析原信号f(t)变换为∫(3-2t)采用先平移,后反转,最后进行尺度变换的步骤。而 信号f(3-2t)变换为原信号时则采用逆序的步骤,即先尺度变换,后反转,最 后再平移,也即f(3-2t)→f(3-t)→f(t+3)→f(t),再利用公式(t)= a(),E()=r()易得正()的波形。此时还要利用冲激函数a()和阶跃函 21
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 数的平移性质 解利用尺度变换由∫(3-2t)的波形可得f(3-t)的波形[如图1-17(a)],即将 f(3-2t)的波形以原点为基准点展宽至原来的两倍 将∫(3-t)的波形进行反转即得到f(t+3)的波形 将f(t+3)的波形沿t轴正方向平移3个时间单位即得原信号f(t)的波形[如图 1-17(b)],f(t)的表示式为 r(t+5)--r(t+1)+g(t+1) 利用公式()=4(),()=4(1)可得 ()=12(+5)-÷4(+1)+1=(-7)+8(+1) 由元f(t)表示式易得其波形[如图1-17(c)] 1-17(c) 小结本题主要考査变换和反变换的方法,掌握它们变换顺序,才能避免出错。 1.10计算下列各题。 (1)=i[cost+ sin(2t)e(t)) 2)(1-1)元[e6(t) (3) in (t) (4)e[8(t)+8(t]dt (5)_[P+m(](+2)d (6)(t2+2)()d (7)(n2+2t2-2t+1)8(t-1)dt(8)(1-x)8(x)dx 分析运算过程中如果遇到含有冲激函数与普通函数相乘的情况时,首先利用公式对此 部分处理,以简化运算 ff (1)I[cost+ sin(2t)Je(t)) KL- sint+ 2cos(2t)E(t)+[cost sin(2t)8(t)) KL- sint+ 2cos(2t)E(t)+a(t) L- cost-4sin(2t)](t)+[- sint+2cos(2t)18(t)+8(t) -cost-4sin(2t)]e(t)+28(1)+8(t)
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第一章信号与系统 首先求ae(t)]=-e-()+e8'(t) 6(t)+(t)+(t) 这里注意e8(t)=a(t)+a(t) 则(1-1)a[ea(]=(1-8() =(t)-1(t)=8(t)+(t) 这里注意t'(t)=-8(t) n(πt) rcos(t) (洛毕达法则) (4) (t)+8(t)]dt [e-8()+e-8()]dt=[d(n)+28()+6(1)]d d()d+3|a(r)d=3 (3)[+s1(+2d=[2+m小 r=-2 (6)(t2+2)8(4)d -(t2+2) (t3+2 (8)(1-x)(x)dr [o'(x)-(1)8(x)]dr=o'(x)dx+o(r)dr =6(t)+c(t) ◎1.11设a,b为常数(a≠0),试证 f(t8(at-b (提示:先证 分析利用积分变量替换的性质,令x=a-b,因a≠0则有t=x+,d=1dx代 入左端积分整理即可,注意对不同符号的a进行讨论。 证明令x=a-b,a≠0则有t=x+b,d=1dr,分两种情况讨论: 23
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 f(r8(at-b)dt b 1 cxr b f( 若a<0,则|a|=-a,有 bdt b f(-+一)(x) b 综合以上两种结果,可得 f(nat -b)dt ◎1.12如图1-18所示的电路,写出 (1)以uc(t)为响应的微分方程 (2)以i(t)为响应的微分方程。 分析找出电路中各元件的端电流和端电压之间的关系,再利用KVL或KCL写出各元 件彼此之间的关系,选定某一参量为响应,消去其余中间参量即可得到描述系统 的微分方程 解由KVL可得s(t)=u1(t)+uc(t) 由KCL可得 各元件端电流和端电压的关系为 (1)选定uc(t)为响应,联立以上各式消去其余中间参量得 LO L d r dt c(t)+uc(t)=us(t) 稍加整理得以uc(t)为响应的微分方程
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第一章信号与系统 (2)选定以i1(t)为响应,联立各式消去其余中间参量可得 (t)+i,(t)=Cus(t)+rus(t) 稍加整理得以i(t)为响应的微分方程 1"1(t)+ 1.13如图1-19所示的电路,写出 (1)以a(t)为响应的微分方程 (2)以lc(t)为响应的微分方程 分析找出电路中各元件的端电流和端电压之间的关系,再利用KVL和KCL写出各元 件彼此之间的关系,选定某一参量为响应,消去其余中间参量,即可得到描述系 统的微分方程 解(1)设电容C的电压为uc(t) 电感L的电流为it(t) 有(t)=uc(t)+ic(t)R +ic(tr 因为有ic(t)=cc'()∴ae'(t)=c( 又有ic(t)=i(t)-i(t)a(t)=Ii(t) u(t) 将①、②代入'(t)表达式,有 C+()R-( u(t)=ic(t) 再对两端求导,有()=1ic()+is"(t)R-“(R 即t(t) (t) 以a(t)为响应的微分方程为 (D+E(m+a(=÷(+R? (2)ic(t)=is(t)-iL(t) ()-i'(1)因为n'()=( ∴i'(t)=is(t)-L 再对两端求导有
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