第五章 连续系统的s域分析 内容提要 拉普拉斯变换 1.定义 信号的单边拉普拉斯变换 正变换式:F(s)=f(t)e-dt 反变换式:f(t)=1i(s)eds 2j-∞ 信号的双边拉普拉斯变换 正变换式:F(s)=f(t)e-dt 反变换式:f()=f(s)eds 1.性质 单边普拉斯变换的性质见表5-1双边拉普拉斯变换见表5-2 192
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第五章连续系统的s域分析 表5-1单边拉普拉斯变换的性质 时域 f()→F(s)s域 定义 F(se ds f(s)= F(ne dt,d>do 线性 a1f1(1)+a2f2(1) a, Fi(s)+a,F(s).d> max(d,, dz) 尺度变换 1F(÷),>a f(t-to )e(t-lo) eo F(s).g>>g 时移 f(a-b)(a-b),a>0,b≥0-c÷F(s),>m0 复频 F(s-s),g>>do+a F(s)-f(0),d> 时域微分 f(r)dx 1F(),0>max(o,0) 时域积分/-(t) F(s)+-f-1(0 f=”(t) F()+八-(0-) 时域卷积f1(D*f2() FI(s)F2(s),a>> max(or,dz) 时域相乘f1(1)f2() 1 F,(m)F: (s-mdn a>>d1+oz,d<c<o-dz s域微分 (-D)f(1) d"F(s) 域积分 F(n)dn.a>do 初值定理 f(04)=limF(s),F(s)为真分式 终值定理 f(∞)= lim sF(s),s=0在sF(s)的收敛域内 表注:①表中为收敛坐标:②/“()g(,F“()如(,( f(r)d. 193
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 表5-2双边拉普拉斯变换简表 反因果信号 因果信号 序号 f(n) 收敛域 FLcs) 收敛域 f(r Re]<0 Re[s]>0 Re[s]<o Re[s]>0 (t) 3-(-1)Rts]<0 Re[s]>o te(r) 4-c(-D)R<-a ,+。 Re[s]>-a e-E(t) tee(t)Re[s]<- (s+a)2 Re[s]>-a ee(r) 6-re“(-1)R]<-a Re[s]> "e"ε(t) 7 cos(B1 )E(-o Re[s]<o Re[s>o cos(A)e(n) sin(A)e(-t Re[s]<o s2+e Re[]>o sin(B)E(t) tacos(B1) ecos(P)∈(1) e(-t) R]<-aa+a)2+R>-a sin(Bt) Re[s]<-a (s+a)2+ Re[s]>-a e sin(R )e(n) E(-1) 表注:a、B均为实数 二、求解方法 1.求解拉普拉斯逆变换的方法 (1)部分分式分解; (2)用留数定理求逆变换 y[F(s)]=>[F(s)]e的留数] 若p;为一阶极点,则在极点s=p;处的留数 若p;为k阶极点,则 1 5!:=(s-p)F(s)e 194
23456#$’(789:;<=>? 2)(’ .%&’&()*S2 T" -UV!" $"%# LM6 WXY "0"!# UV!" LM6 $"%# ! &#"&%# 1%)!*($ ! ! 1%)!*$$ #"%# ’ &%#"&%# 1%)!*($ ! !’ 1%)!*$$ %#"%# 2 &%+ #"&%# 1%)!*($ ++ !+’! 1%)!*$$ %+ #"%# 3 &%&)% #"&%# 1%)!*(&% ! !’% 1%)!*$&% %&%% #"%# ) &%%&)% #"&%# 1%)!*(&% ! "!’%#’ 1%)!*$&% %%&%% #"%# 4 &%+ %&)% #"&%# 1%)!*(&% ++ "!’%#+’! 1%)!*$&% %+ %&%% #"%# 5 &678"&%##"&%# 1%)!*($ ! !’ ’& ’ 1%)!*$$ 678"&%##"%# 9 &8.:"&%##"&%# 1%)!*($ & !’ ’& ’ 1%)!*$$ 8.:"&%##"%# ; &%&%% 678"&%# #"&%# 1%)!*(&% !’% "!’%#’ ’& ’ 1%)!*$&% %&%% 678"&%##"%# !$ &%&%% 8.:"&%# #"&%# 1%)!*(&% & "!’%#’ ’& ’ 1%)!*$&% /&%% 8.:"&%##"%# 2O!%,&ZH[Y$ @!A?BC !" \]&’&(^)*#_‘ "!#a@@,@]( "’#bcY7G\^)* !&!)""!#*# & de )""!#*%!% #cY* f01 Hghde&iKde!#01 j#cY 21 # )"!&01#""!#%!%*!#01 f01 H3 hde&i 21 # ! "3&!# + )&3&! &!3&!"!&01#3 ""!#% *!% !#01 $ %#"%%
第五章连续系统的s域分析 2.R,L,C元件s域关系为 VR(s)= RIR(s); VL(S)=SLIL(s) Vc(s)=1 Ic(s)。 3.系统函数H(s)与冲激响应h(t)构成变换对 H(s)=h(t)] 4.若激励与响应是同一端口,则网络函数称为“策动点函数”;若激励与响应不在同一端 口,就称为“转移函数” 5.频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况。 典型例题与解题技巧 【例1】求下列函数的拉氏变换,考虑能否借助于延时定理 in(ot 当0<t< (1)f(t)= 0 (t为其他值) T (2)f(t)= sin(at + o) 解题分析延时性质f(t-t0)e(t-b)]=eF(s)变换函数表达式,借助延时性质求 解 解题过程(1)由f()= sinate(t)-c/t-T m+i(-2)1(-) 得(]-元m(+-2)(-21) +“平 (1+e-) (2)由sin(a+g)= sIna coSgp+ cOAx sinop得 ALsin(ax +p)]=g(sinat cos)+g(cosaw sinp) s2+ cosSet singe 【例2】分别求下列函数的逆变换的初值与终值 (1)-(s+6)
/01 !"#$%!&’( ’"4&5&6 kl!6mnH 74"!##484"!#( 75"!##!585"!#( 76"!## ! !6 86"!#$ 2" noXY 9"!#pqrst:"%#uv)*w 9"!## !):"%#* 3" frxpstyzg{|&i}~XY4H-eXY.(frxpstKzg{ |&4H-<XY.$ )" >s/y noK+!"rxst!">#)$ 9"(’##;9"!#;!#(’ #;9"(’#;%(("<# %&’()*(+, "D!# \XY#&)*&57G$ "!#$"%## 8.:"’%# "$(%( = ’#& $ "%HF + , - # = #’! ’( "’#$"%##8.:"’%’(#$ ?=’( 5/0 !)$"%&%$##"%&%$#*#%&!%$""!#)*XY2,&5/0\ ]$ ?=EF "!#$"%##8.:’%)#"%#&#"%&= ’#* #8.:’%#"%#’8.:)’"%&= ’#*#"%&= ’# !)$"%#*# !)8.:’%#"%#*’!/8.:)’"%&= ’##"%&= ’#*0 # ’ !’ ’’’ ’ ’ !’ ’’’%&>= ’ # ’ !’ ’’’"!’%&=> ’ # "’#8.:"’%’(##8.:’%678(’678’%8.:( !)8.:"’%’(#*# !"8.:’%678(#’!"678’%8.:(# # ’678( !’ ’’’ ’ !8.:( !’ ’’’ #’678(’!8.:( !’ ’’’ "D’# @ \XY#^)*#EFpJF$ "!# "!’4# "!’’#"!’)# %#"&%
信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 (s+1)2(s+2) 解题分析limf(1)=f(0+)= lims F(s) f(t)= limF(s) 直接利用初值定理和终值定理求解。 解题过程(1(0)-1mF()=lma+2++5 s2+7s+10≈1 lim f(∞)= lims(s)=lim s2+7s+10=0 s(s+3) (2)f(0+)=limsF(s)=lim712 (+2)=0 f(∞)= lims(s)=lim s(s+3) 0(s+1)2(s+2) 【例3】一个LTI系统对单位阶跃ε(t)的响应g(t)为g(t)=(1-e-te-)ε(t)。若系统 对某个输入x(t)的响应y(t)为y(t)=(2-3e-+e)e(t),试确定这个输入信号 解题分析当已知系统的冲激响应h(t)和由激励x()产生的响应y(1)时,满足卷积积分 关系y(1)=x(t)*h(t),欲求激励信号x(t)需要进行逆卷积运算。 在本例中,将时域中的逆卷积变换为复频域先求X(s)=x(t)],即x(t) 解题过程由题可知单位阶跃e(1)产生的阶跃响应g(t),则单位冲激信号8()产生的冲激 响应h(t)为 h()=ag()=(1-e=1e)6()+(1=e-te)e()=tee() 所以系统函数H(s)=9[h(t)] (s+1)2 该系统对于激励x(t)的响应y(t)其拉氏变换为 y(=y(s)=2-3+-1= +3s(s+1)(s+3) 由系统函数H(s)= Y(s) 可知,X(s)=x(t)],即 X(s) 6(s+1)A1A2 其中,A1=2,A2=4因此输入信号x(t)=[2+4e]e(t) 【例4】图5-1(a)所示电路,已知f(t)=10(1)V,(0-)=5V,z2(0-)=4A。求全响 应i1(t)与i2(t) 解题分析主要考查了KVL列积分方程求全响应的方法。 解题过程 F()=f(=101 196·
23456#$’(789:;<=>? "’# "!’2# "!’!#’"!’’# ?=’( -.*%)$’ $"%##$"$’ ##-.*!!)# ""!# -.*%)# $"%##-.*!)$ ""!# ¡¢£bEF7G¤JF7G\]$ ?=EF "!#$"$’ ##-.*!)# !""!##-.*!)# !"!’4# "!’’#"!’)# #-.*!)# !’ ’4! !’ ’5!’!$#! $"###-.*!)$ !""!##-.*!)$ !’ ’4! !’ ’5!’!$#$ "’#$"$’ ##-.*!)# !""!##-.*!)# !"!’2# "!’!#’"!’’##$ $"###-.*!)$ !""!##-.*!)$ !"!’2# "!’!#’"!’’##$ "D"# g¥<=>now$¦h§#"%##st?"%#H?"%## "!&%&% &%%&%##"%#$fno w¨¥©ª-"%##st@"%#H@"%## "’&2%&% ’%&2%##"%#&«¬7¥©ª!" -"%#$ ?=’( ®¯no#qrst:"%#¤rx-"%#°±#st@"%#5&²³BAA@ mn@"%##-"%#’:"%#&´\rx!"-"%#µ¶·¸^BA¹º$ K»¼P&½56P#^BA)*H=>6¾\ A"!## !)-"%#*&¿ -"%# # !&!)A"!#*$ ?=EF ÀÁ¯$¦h§#"%#°±#h§st?"%#&i$¦qr!")"%#°±#qr st:"%#H :"%## & &% ?"%## "!&%&% &%%&%#)"%#’ "!&%&% &%%&%#B#"%##%%&% #"%# ÂÃnoXY 9"!## !):"%#*# ! "!’!#’$ Änowrx-"%##st@"%#&)*H !)@"%#*#C"!## ’ !& 2 !’!’ ! !’2# 4 !"!’!#"!’2# noXY 9"!##C"!# A"!#Á¯&A"!## !)-"%#*&¿ A"!## C"!# 9"!##4"!’!# !"!’2## D! ! ’ D’ !’2 P&D! #’&D’ #3$UÅ©ª!"-"%## )’’3%&2%*#"%#$ "D## Æ)&!"+#ÂÇÈÉ&®¯$"%##!$#"%#?&#."$& ##)?&1’"$& ##3@$\Ês t1!"%#p1’"%#$ ?=’( ˶ÌÍ A?<A@_Î\Êst#_‘$ ?=EF ""!## !)$"%#*#!$! ! %#"’%