信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 (t) 因为'(t)=uc'(t)+ic'(t)R(见(1)的过程) 而uc'(t)=c(t) ∴有a'(1)=2()+ie'()R 将②式代入①式,有 e()=;()-lac(t)-R(t) ∴以ic(t)为响应的微分方程为 i'(+E:()+1c()=( 回14图1-20是机械减震系统,其中M为物体质量,K为弹簧的弹性系数D为减震 器的阻尼系统数,y(t)为物体偏离平衡位置的位移,f(t)为加于物体M上的外 力。列出以y(t)为响应的微分方程。(提示:弹性力等于Ky(t),阻尼力等 于Dy’(t)) 分析分析此力学系统中物体所受外力情况,得出物体所受合外力,利用牛顿第二定律 F合=m写出微分方程 解选择物体向上偏离平衡位置时为参考正方向,此机械减震系统中,物体所受外力包 括加于物体M上的外力f(t),弹簧弹力Ky(t),减震器阻尼力Dy(t)则物体M的 所受合外力为 Fa=f(r)-ky()- Dy(t) 由牛顿第二定律可知F合=Ma,a为物体在F合作用下产生的加速度,由以上两式, 可得 f(r)-ky(t)-Dy'(t)= Ma= My(t) 稍加整理得以y(t)为响应的微分方程 y(t)+uy(t)+yy(t)=xf(t) Ep My+ Dy'+Ky= f ◎1.15图1-21是一种加速度计,它由束缚在弹簧上的物体M构成,其整体固定在平台 上。如果物体质量为M,弹簧的弹性系数为K,物体M与加速度计间的粘性摩擦 系数为B。设加速度计的位移为x1(t),物体M的位移x2(t)。实际上,只能测得物 体相对于加速度计的位移y(t)=x1(t)-x2(t)。列出以x1(t)为输入,以y(t)为 输出的微分方程 分析分析力学系统中物体M所受外力情况,找出其所受合外力F合,利用牛顿第二定 26
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第一章信号与系统 律写出系统的微分方程 解选择物体向右偏离平衡位置时为参考正方向,物体M所受外力包括弹簧弹力 y()×2,加速度计给物体的摩擦力By(),则物体所受合外力为F台=Ky(1)+ (t),利用牛顿第二定律得 F合=Ma,或中a=x2(t)为物体的加速度 则有Ky(t)+By(t)=M"2(1)将x2(t)=x1(t)-y(t)代入得 Ky(t)+By'(t)=M[x"1(t)-y"(t)] 稍加整理得以x1(t)为输入,y(t)为输出的微分方程 y()+By()+ky(t)=x1(t) ●1.16图1-22是一个简单的水池调节系统。设水以每秒Qa个单位的速率流入水池(设 水池为柱形,其截面积为A),而以每秒Q个单位的速率经阀门外流,设流出的 速度正比于水位高度H,即Qm=1H(R为阀阻)。写出描述该系统H与Q关系 的方程。(提示:计算区间,池内水的体积增量△V)。 分析池内水的体积增量为ΔV=AΔH,同时根据水池流入量和流出量可得△V=(Q Qom)4,联立两式对→0取极限可得系统的微分方程 解由已知可得池内水的体积增量和高度满足ΔV=AΔH,△H表示高度增量。又由每 秒水池的流入量和流出量可得 △V=(Q-Q。) 由以上两式可得 AH=(Qn-Qm)△=(Qn-hH)△ 上式两边对时间变量Δ→0取极限可得 稍加整理得H与Qn关系的微分方程
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 H+xH=+ 即H(t)+nH(t)=-Q 小结此类应用题找出各变化率之间等式关系再列方程得出微分方程。 1.17航天器内部的热源以速率Q产生热量,其内部热量变化率为mC(m为航天器 内空气质量,C。为热容量,T为内部温度),它散耗到外部空间的热速率等于 K(T-T。)(K。为常数,T。为外部温度,为常数)。写出描述温度T与Q的微分方 程。(提示:内部热量变化率等于产生热量速率与散热速率之差。可设内外温差为 分析根据热学知识可知,系统内部热量变化率等于产生热量速率与散热速率之差,由 此可得 dT =Q-K0(T-T0) 整理即可 解由热学知识可知,系统内部热量变化率等于系统内部产生热量速率与散热速率之 nCpd=Q-ka(T=7。) 稍加整理即得温度T与Q的微分方程 T(t)+9T(t) 即y+ K Q ◎1.18一质点沿水平方向作直线运动,其在某一秒人走过的距离等于前一秒所行距离的 1/2。若令y(k)是质点在第k秒末所在的位置,写出y(k)的差分方程。 分析质点运动规律为某一秒内走过的距离等于前一秒所行距离的, 即y(k)-y(k-1)=[yk-1)-y(k-2)],此即为y(k)的差分方程 解质点从第k一2到第k-1秒所走过的距离为y(k-1)一y(k-2),从第k-1秒到 第k秒所走过的距离为y(k)-y(k-1),根据质点的运动规律,有 ()-y(k-1)=[y(k-1)-y(k-2) 稍加整理得y(k)的差分方程为 (k)-2y(k=1)+2y(k=2)=0 ◎1.19在核子反应器中的每个粒子经过1s后都分裂为2个粒子。设从k=0s开始每秒 注入到反应器中f(k)个粒子 (1)设x(k)为第k秒末反应器中的粒子数,写出其差分方程; (2)每个粒子一分为二时,实际上其中之一是原有的,另一个是新生的。如果一个 粒子的寿命为5s(例如从第零秒产生,到第五秒消失),若令y(k)为第k秒末的粒
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第一章信号与系统 子数,写出y(k)的差分方程(设f(k)都是新生的) 分析若粒子寿命无穷大则第k秒末粒子数应为第k一1秒末粒子与第k一1秒注入粒 子数之和的两倍,若粒子寿命为5s,则k秒末粒子数应为第k-1秒末粒子数加 上第k-1秒注入粒子数再减去5s前新生粒子数和新注入粒子数之和的结果的 两 解(1)粒子寿命无穷大,第k一1秒粒子数为x(k-1),在第k-1秒注入粒子∫(k),根 据粒子的分裂规律,第k秒粒子数为 x(k)=2[x(k-1)+f(k)] 稍加整理得x(k)差分方程为 x(k)-2x(k-1)=f(k) (2)粒子寿命为5s,则在第k-5秒时新生的粒子,y(k-5)以及新注入的粒子 ∫(k-5)在第k秒会消失掉,根据粒子的分裂规律,可得第k秒的粒子数为 y(k)=2[y(k-1)+f(k-1)-1y(k-5)-f(k-5) 稍加整理得y(k)的差分方程 y(k)-2y(k-1)=f(k)-f(k-5) 回.20]写出图1-23各系统的微分或差分方程 图 分析首先选取中间变量x(·),对于连续系统,设其最右端积分器的输出为x(t);对于离 散系统,设其最左端迟延单元的输入为x(k);然后写出各加法器输出信号的方程 最后消去中间变量即可 解(a)系统框图中含有两个积分器,则该系统是二阶系统。设最下方积分器输出x(t),则
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信号与线性系统分析同步辅导及习题全解 各积分器输入为x"(t),x'(t) 左方加法器的输出为 (t)+3x(t)+2x(t)=f(t) 由右方加法器的输出,得 (t)=x"(t)-2x(t) 由上式得 "(t)=[x"(t)]”-2[x'(t) 3y(t)=[3x(t)]-2[3x(t)] 2y(t)=[2x"(t)]-2[2x'(t)] 将以上三式相加,得 (t)+3y(t)+2y(t) [x"(t)+3x(t)+2x(t)]-2[x"(t)+3x(t)+2x(t)] 考虑到f(t)=x"(t)+3x(t)+2x(t),上式右端等于f"(t)-2f(t),故得 y(t)+3y(t)+2y(t)=f"(t)-2f(t) 此即为系统的微分方程 (b)系统框图中含有三个积分器,则该系统为三阶系统。设最下方积分器输出为x(t) 则各积分器输入为x"(t),x"(t),x'(t) 左端加法器的输出为x"(t)=f(1)-2x(t)-3x(t) (t)+2x'(t)+3x(t)=f(t) 由右方加法器的输出得 (t)-4x(t) 由上式得 y(t)=[2x(t)]-4[2x'(t)] 3y(t)=[3x(t)]-4[3x(t)] 将以上三式相加得 y"(t)+2y(t)+3y(t) =[x"(t)+2x'(t)+3x(t)]-4[x"(t)+2x'(t)+3r(t)] 此即为系统的微分方程 (c)系统框图中有两个迟延单元,因而该系统为二阶系统。设上方迟延单元的输入为 x(k),则各个迟延单元的输出为x(k-1),x(k-2) 左方加法器的输出为 x(k)=f(k)+2x(k-1)-4x(k-2) 即 右方加法器的输出为
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