3.3离散傅立叶 变换
3.3 离散傅立叶 变换
3.3离散傅里叶变换 DFT-Discrete Fourier Transform) 时间连续的周期信号>频率离散的傅立叶级数 时间连续的非周期信号→>频率连续的傅立叶变换 时间离散的周期序列》频率离散的周期级数 时间离散的非周期序列→>频率连续的周期变换 非周期序列称为是有限长度序列,分析有限长度 序列和周期序列之间的关系,推导离散傅立叶变换
3.3 离散傅里叶变换 (DFT-Discrete Fourier Transform) → → 时间连续的周期信号 频率离散的傅立叶级数 时间连续的非周期信号 频率连续的傅立叶变换 时间离散的周期序列 频率离散的周期级数 时间离散的非周期序列 → 频率连续的周期变换 → 非周期序列称为是有限长度序列,分析有限长度 序列和周期序列之间的关系,推导离散傅立叶变换
离散周期序列的傅里叶级数展开式 ∑ xn(n)e n=<N> jk 2兀-n N k k=<N W Wu=e e k ∑x(m)W SCWI k=<N>
离散周期序列的傅里叶级数展开式 N j N W e 2 − = = = k N j k n N k N x n c e 2 ( ) = − = n N j k n k N N x n e N c 2 ( ) 1 nk N j kn N W e 2 − = nk N j kn N W e 2 = − = = n N kn k N n WN x N c ( ) 1 = − = k N kn N k WN x (n) c
离散傅里叶变换定义式 由于周期序列只有有限个序列值有意义,所以离散傅里 叶级数也使用于有限长序列 如果把长度为N的有限长序列看成是周期为N周期序列 的一个周期,则可以利用离散傅立叶级数计算有限长序列 N-1 k ∑x(mn) n=0 k C k=<N> 把有限长序列周期延拓,Ck也可以看成是X(k)主值序列 的周期研拓,由于DFS求和运算只限定在n=0-N-1和k=0-N-1, 所以完全适用于有限长序列的傅立叶变换对
离散傅里叶变换定义式 − = = 1 0 ( ) 1 N n kn k N n WN x N c = − = k N kn N k WN x (n) c 由于周期序列只有有限个序列值有意义,所以离散傅里 叶级数也使用于有限长序列. 如果把长度为N的有限长序列看成是周期为N周期序列 的一个周期,则可以利用离散傅立叶级数计算有限长序列 把有限长序列周期延拓, 也可以看成是X(k)主值序列 的周期研拓,由于DFS求和运算只限定在n=0-N-1和k=0-N-1, 所以完全适用于有限长序列的傅立叶变换对 k c
DFT的定义 2丌 X(k)=∑ (k=0,1,2…N-1) r(ne n=0 2丌 jk (n=0,1,2…N-1) x(n 1 x(ke X(k) x(n X￥(k)=DFT[x(n) x(n)=DFTIX (K) x(n)= X(kWN k
一 DFT的定义 − = − = 1 0 2 ( ) ( ) N n n N jk X k x n e (k = 0,1, 2N −1) − = = 1 0 2 ( ) 1 ( ) N k n N jk X k e N x n (n = 0,1, 2N −1) − = = 1 0 ( ) ( ) N n nk n WN X k x − = − = 1 0 ( ) 1 ( ) N k nk WN X k N x n X(k) = DFT[x(n)] x(n) = IDFT[X(k)]