为该系统的特征方程。 称为系统的转移算子或传输算子。 2.1.2系统自然频率的求法 1.施加电源法 (1)将电压源串联接入无激励电路的任一条支路中，求电压源端口的H(p)或转移端口 的H(p),此H(p)的极点，即D(p)=0的根为系统的自然频率。 (2)将电流源与无澈励电路中的任一条支路并联，求电流源输入端口的H(中)或转移端 口的1H(p),此H(p)的极点即为系统的自然频率。 2。短阵行列式法 令回路阻抗矩阵Z(p)或节点导纳矩阵Y(p)的行列式等于零，即deZ(p)一0或detY(p) =0,该方程的极即为系统的自然频率。 3.套自然麵速 当无激励电路中存在有由纯电容支路构成的割集或由纯电感支路构成的回路时，电路的 自然频率中就一定含有零自然频率（即自然频率的值为零），而且零自然频率的个数等于纯电 容支路构成的制集数加上纯电感支路构成的回路数。 当电路中含有由纯电容支路构成的割集时，求电路的自然频率只能用方程dtY(p)=0 求解，若用方程dtZ(p)=0求解，则零自然频率将被丢失.当电路中含有由纯电感支路构成 的回路时，求电路的自然频率只能用方程dtZ(p)=0求解，若用方程de1Y(p)一0求解，则零 自然援率同样将被丢失。 2.1.3卷积积分 1.定义y()=f()f了()=f(x)ft-r)d 2.卷积积分上、下限的讨论 (1)若，(t),f()均为因果信号，则积分的上，下限可写为(0，)，即 y()=f(t)*()=n,(t)f-r)dr (2)若厂(e)为因果信号，J()为一般信号，则积分的上、下限可写为(0，∞)，即 y(t)=(t)(t)=f()f(t-t)dr (3)若f,()为一般信号，f(t)为因果信号，则积分的上、下限可写为(-oo,)。 (4)若人，：)f)均为一般信号，则积分的上、下限可号为（一∞，十∞）。 3.适算规律 卷积积分的运算与代数学中的一些运算规律，如交换律，结合律和分配律相同。 4,主要性质 (1)积分 ∫r)*jr]r=fie)*frdr=f0∫frdr -22一
(2)微分 f,和f]=f0-,.@ (3)微分积分 ®，了，rdr=rr,e=*f0 应用2,6)两个性质的条件是式巴r=心)多须成立，即8缓有0- (-心)=0同鬼，式公r-0多氛成立，即必须有(-∞)一0，香则不能 应用。 (4)任意时间函数f(u)与6()的卷积：∫(t)6()=f(t) 推论： f(u)*(t-T)=f(:-T) f(t-Ti)*6(t-T:)=f(t-T-T:) (u-T)￥6(t-T)=8(t-T-T) (5)任意时间函数f()与U()卷积： fe)米U(e)=fr)dr f)0-1)f(r-tdr-f(ds 即任意信号f(t)与阶氏信号U(:)卷积，相当于信号f()通过积分器的响应。 (6)任意时间信号f()与8()的卷积： f(:)*8(t)-f(t)*8(t)=f(t) 即任意信号f(:)与冲激偶信号8(t)的卷积，相当于信号f(x)通过微分器的响应。 推论(i)fe)￥8(e)=f(t)(i)f(r)*8(t-t)=fa(:-t》 (7)时移性：若，(t)f(t)=f(t),则有 f-4)*f2t-t)-ft-)f-4)=ft-) 5.计算卷积的四种方法 ①查表法：@解析法：③图解法：④数值计算法。 当用解析法与图解法计算时，积分上、下限的确定是关键，也是难点，应通过做题仔细 端摸。 21.4黛分方程的解一系统的全响应 1.徽分方程的解即为系统的全响应 系统的全响应可按三种方式分解： (1)全响应y()=零箱人响应y,()+攀状态响应y4): (2)全响应y()=自由响应十强迫响应： (3)全响应y()一辟态响应十+稳态响应。 2.系统套翰入响应y,(:)的求解 当系统的激励f(:)=0时，仅由系统的初始储能（初始条件）产生的响应称为系统的零箱 入响应y).其求法是： 23-
(1)当D()=0的根为n个单根（不论实根、虚根或复数根）P1,P2,.,P.时， y)=Act+Ae时+.+A.e, (2)当D(p)=0的根为n重根（不论实根、虚根或复数根）P1=p2=.=P.=p时， y,(t)=(A1+At十A2十.十A-1)em 式中A,A,A,为积分常数，应将系统响应y,:)的初始值及各阶导数的初始值代入上两 式中确定. 3系统的冲激响应与阶默响应 (1)单位冲激激励8(：)在零状态系统中产生的响应h(:)称为单位冲激响应，简称冲激响 应.可根据H(p)的部分分式展开式求解，因 )0)) )当n>m时，若Dp)=0的根为n个单根，Pp,则可将Hp)展开为 K 式中，K,K:,K,为部分分式的待定系数，于是得 h0-K,e+KeW+.+K.e"+.+K.eW-K,eUe) 若D(p》=0的根中含有，重根，在Hp>的部分分式中就将含有形如D二的项。 则与之对应的冲激响应的形式为 aKewe (i)当n=m时，可将H(p)用除法化成为一个常数b.与一个真分式之和，即 则 Ae)=6.80+2Kee) (i)当n<m时，h(t)中除含有上式各项外，还要含有直到6-(：)的冲邀函数6t)的 各阶导数。 (2)单位阶跃激励U(:)在零状态系统中产生的响应g(:)称为单位阶跃响应，简称阶跃 响应。 (3)h(t)与g(t)的关系为 4。用卷积积分法求零状态响应 系统的零状态响啦y,(t)为 yr()=f()￥h(t) 5.系统：分方程所对应方程的解 系统微分方程所对应的齐次方程的通解即为自由响应，非齐次方程的特解即强迫响应。它 的形式取决于激励的形式。 -24
2.2例题精选 例21已知如图2.1所示电路。求响应i,(),(t),()对f()的转移算子，以及描述 it)与f()关系的微分方程。 解对电路列网孔电流方程为 1H 3i,()-pi,()-pi,()=0 -pi,)+(p+1)i()-i(e)=fe) -pi,()-i2)+(p+1+)i,t)=0 联立解 ))(p0) 40-9法0 f=A,(pf 图21 is())() 故得 p=肆 p(22+3p+3) H,(p）=pP年2p+2p+3 描述i2()与f(t)关系的微分方程为 (p+2p+2p3+3p)i2()=(2p+3p3+3p)f(t) +29+9+9=++】 讨论由于此电路为四阶电路，故各转移算子中分子与分母的公因子力不能消去。另外 由于电路中有一个由三个纯电惑支路构成的回路，因此电路的自然频率中包含有一个零自然 频率。 例22在图2.2所示电路中，已知i(0)=-1A,c(0)=1V, (1)求自然频率；(2)求零箍入响应c(:)。 解(1)因电路无激励，故可令电路的回路阻抗矩阵 Z(p)的行列式等于零来求自然频率，电路的回路阻抗矩阵为 Z(p)= 2+-2 L-22+4+ 图22 令dez(p）=0,即de2p)-2+)6+）-4-2+102+12=0 得1=-2，p=-3。 (2)因自然频率为p=一2，P:=一3，故零输人响应为 u()=Aje-+A.c- 由已知条件(0+)一uc(0)=1,又由电路图可得 -25
1-字 由式①有 c(0*)=A,十A:=1 联立解得 A1=4A:=-3 ()=4e-3-u≥0) 倒23已知各系统的转移算子及初始条件为 -(3p十8) )Hp》-pP平D8.(0-1,0)=0)=0 3p+1 （2)Hp》）=pB+o=xO》=0,0)=1 求各系统的自然频率与零输人响应y,()。 解(1)p(p2十4p十8)=0的根（即自然频率）为P1=0,p:=-2十j2,p=一2 2.零输人响应的通解为 y.(e)=+Ae+=+Ae y()=A:DeP:+ApeP y"()=pAe+PiAge时 将已知的初始条件代入y,(t),y(),y”()的表达式中，有 y,(0)=A十A2十A,=1 y5(0)=p2A2十pAa=0 y(0)=pA2十pA=0 联立解得 A=1A:=A,=0 所以 ()=1 u>0) (2)因p(p十1)2=0的根为：=0，p:=p3=一1，故有 y.(1)=+(A:A:t)e A:+Ae-+Aste- y(t)=-Ae-Ate-'十Ae-' y(t)=A:e-+Aite-Aze-Age-=Age-2Aje-+Ate 将已知的韧始条件代人y(),y()和y”()表达式中得 y,(0)=A+A,=0 (0)=-A2+A4=0 y"(0)=A-2A=1 联立解得 A1=1A:=A,=一1 故得 y(e)=1-e-te t≥0) 例2.4描述某线性时不变系统的方程为 y"()+3y()+2y()=()+2f() 求当f(t)=e‘,y(0)=0,y(0)=3时的全响应y()。 解利用经典法求，由子特征方程为 一26-