p2+3p+2=0 其特征根为p1=一1，=一2，故齐次解为 y%)=A,e十A,ea 当激励为f()=e'时，由于激励e·中的指数a=一1，它也是特征根，故方程的特解为 y,()=B,te‘+Be 其一阶和二阶导数分别为 y(t)=-Bite-+B:e-Be-=-Bte-+(B:-Bo)e- y()=Bite-Be-(B-Bo)e-=Bite-(2B -Bs)e- 将它们和P(),f)代入原微分方程得 [B1te-(2B-B)e门+3[-B1te+(B1-B)e门+2[B,te‘+Bc门= -e+2e (B1-3B+2B,)e+十(-2B1十3B)e+(B。-3B。+2B。)e‘=e‘ Be=e- 得B,=1,但B。未能得到，于是方程的特解 y(t)=te-1+Be- 将它与齐次解相加，得全解为 y()=y(t)十y,(t)=A,e十A,ea十e‘+Be1= (A:+Bo)e+A;e-+te 它的导数y()为 y(t)=-(A1十B。)e-2A,e-a-te-十c- 将初始值代人得 y(D)=(A十B。)十A20 y'(0)=-(A:+B)-2A2十1=3 联立解得A,十B=2,A2=一2，将它们代人全解表达式得 v(t)=2e-r-2e-a+te-(t20) 讨论采用经典法求响应，是把全解分解为齐次解和特解之和。齐次解的形式仅依于 系统本身的特性，即由特征根决定，与激励的形式无关，但应注意，其系数A,是与激励有关的。 特解的形式由激励形式来决定。一般激励为指数形式，响应（特解）也为相同的指数形式若此 指数与特征根相同，则还要有乘1的项（如本例）齐次解称为系统的自由响应，特解称为强迫 响应.在此例中由于自由响应中的Ae项和强迫响应中的B‘项形式相同，常常不予区分 例25已知(t)和f2(t)的波形如图2.3(a)所示，求f(t)￥f2(:)。 解令y=f0)fa)=∫fr)f-rdr 本卷积积分中，积分限的变化如图2.3(b)所示。 当：<3时， yt)=0 当3≤t<4时，由图2.3(b)中的(1)知 y()-f'2r-Ddr =-6t+9 当4≤t<5时，由图2.3(b)中的(2)知 -27
yt)=2r-1)dr=1 当5≤t<G时，由图2.3(b)中的(3)知 y)=广，2r-1d:=-+10-24 当t≥6时， y()=0 -40 0 (b) 图23 讨论(1)若参变量：的计距起点与积分变量r的坐标原点仍取得一致，则f,化一r)的波 形前沿恒为t一2，后沿恒为：一4，这往往是定积分限的关键。 (2)若假设∫，()和f()分别是一个线性时不变系统的激励和冲激响应，则由f(:)的波 形可知，在：=0时刻加人一冲激信号：)，系统的响应是从t=2开始；所以若在：=1时刻 加入激励∫，()，则根据线性时不变的特性，其响应必定是从t一3开始，由此看出，根据卷积的 物理意义可以检查所取的卷积起点是否正确。 (3)利用图2.3(b)可以清楚地确定卷积积分的上，下限，即为()与/：(：一t)两被形相 交之边界，对于时限信号一般应分段积分，这是因为各段的函数表达式不同因此，在计算卷积 积分时，若借助图解则是很有益的。 例2.6f(t),f,(t)与f(t)的波形如图2.4(a)所示。 (1)求f()*f): (2)求，()f,(),并画出各卷积被形 解(1)方法一利用图解法得t<3f()*f()=0 当3≤1<6时，)*f,0=2Xr=t-3 当6<1<9时.ef-2×2dr=3 当9≤1<12时，f@*)=广2×r-12-: 当t≥12时， f(t)f3()=0 其波形如图2.4(c)所示。 方法二利用卷积积分的微分，积分性质求f()*f,(:)。 28
由于f)=2U-1)-20t-7)为时限信号，)=U(t-2)-号(t-5)也 为时限信号，故 d6@=28e-1)-26-) 了etr-小r-2》-r-5m=序0- 合u-20-2)-2u-5U-5) 巴与∫(e油的淀形如图24)所示，故得 万e*e)=e,6rar=2-a-1)-2u-) 即f,()*f,(r)=(t-3Ut-3)-(t-6)Ut-6)-(t-9)U(t-9)+ (t-12)U(t-12) 或写成分段函数表示形式，即 í0 (≤3) t-3(3≤t≤6) f(t)f()= 3(6t≤≤9) 12-(9≤t≤12) 0(t>12) 被形仍如图2.4(c)所示 ) 15:() 2 2 0 2 图2.4 (2)因 :=28-1)-28:-4)(旋形如图2.4b)所示) -29
∫frdr=2-2U-2)-5Wu-5》=f6"e 故 fe0=g9,foar-2-g-）-2u-0 ft)f(t)=G-3)U(t-3)-2(t-6)U(t-6)+(t-9)U(t-9) 或写成分段函数表示形式为 10 (e≤3) t-3(3≤t≤6) ft)0t)= 9-t(6≤t≤9) {0(t≥9) 波形如图2.4(c)所示。 讨论由以上分析可着出： (1)两个时限信号卷积结果的左边界和右边界分别是两个时限信号左边界之和及右边界 之和： (2)若二个矩形函数宽度相等，则卷积将产生一个三角波，而不同宽度的矩形函数卷积将 产生一梯形被，灵活地应用一些典型的卷积结果，将会给问题求解带来方便。 例2.7图2.5(a)所示线性时不变系统是由三个子系统组成。已知总系统的h(t)和 1(),:r)分别如图2.5(b),(c),(d)所示.求子系统的冲激响应he。 (a} h(E e】 (d) 图2.5 解由图2.5(a)所示可知，总系统的冲激响应为 h(t)=h,()*「h,(t)+h:(e)] 因h()为一梯形波，(t)为一矩形被，所以h:(t)十h,(t)应如图2.5(e)所示，即 he)+h,()=2[U/(t)-U(e-1)] 本 h,(t)=2[Ut)-U(t-1)]-h,(:)=2U(t)-U红-1)]- {U)-U(-1]+e-1)[Ue-1)-U-2)]}= (2-t)[U()-U(t-1)]-(-1)[U(e-1)-U(e-2)] 其波形如图2.5()所示. 一30
讨论此例题关键是利用了例2.6得出的结论，即不同宽度的矩形函数卷积结果是棉形 波。若采用其他方法，则求逆运算是不容易的。 例28已知： (1)f1(u)*tU()=(t+e-'-1)U(t) (2)ft)*[eU()]=(1-e-U()-(1-e-We-1) 求f(t)和f(). 解，由干卷积积分不易求逆运算，故架此题可利用卷积的微分性质求解 (1)因有证[)*U)门=(c+e-1W(),即 ()*[U()]=eU) 即 f(e)8(e)=e-U() 所以 ∫，(t)=eV(t) (2)因有{f)*[eUe)]}=1-cW(e)-[1-e"]V(-) f)*[6()-e-U(t]=eW()-e-Ua-1D f()-f,(t)￥eU(t)=e-/(t)-e-U(u-1) 即f2()-{(1-e)U(e)-[1-e-"U-1)}=eU(e)-e-U(t-1) 所 f;()=U()-U(t-1) 讨论求此类问题应首先求卷积的徽分，使其出现冲激函数，然后再利用已知条件即可 求出所需的函数若不限制用时域方法求解，此类问题用复频域分析则比较筒便。 例2.9单位门西数G,()与单位冲激序列0r()的波形如图2.6(a),(b)所示.求 (G,(t)8n(),并画出其波形.设r≤T。 G.co dr(e) 21 (hy G)r) (c) (d) 图2.6 艺c-n-0士1.士8 当T>r时，G,()*dr(t)的波形如图2.6(e)所示，可见其波形是G,(:)波形的周期性延拓，延 拓的周期为T。 -31