(数值分析 从定理3,2中的结论(2)可知,当‖的值越小,收敛就 越快也可以用‖的值来近似估计选代的次数在计算 出x①时,就可估计出选代次数k,不过估计偏保守,次数 一般偏大 定义3.2若矩阵A=(a;)nxn满足占优的 ∑l =1 且至少成立严格不等式,则称4是(弱对角占优的 定义3.3若矩阵A=( ain n满足 >∑n=12 j=1,j红i 则称A是严格对角占优的 31 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 3131 从定理3.2中的结论(2)可知, 当||B||的值越小, 收敛就 越快. 也可以用||B||的值来近似估计迭代的次数. 在计算 出x (1)时, 就可估计出迭代次数k, 不过估计偏保守, 次数 一般偏大. 定义3.2 若矩阵 A=(aij)n×n 满足占优的. 1, , 1,2, , n ii ij j j i a a i n = ¹ ³ = å L 且至少成立严格不等式, 则称A是(弱)对角占优的. 定义3.3 若矩阵 A=(aij)n×n满足 1, , 1,2, , n ii ij j j i a a i n = ¹ > = å L 则称A是严格对角占优的. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 定义3.4若矩阵A通过行交换和相应的列交换,即能 找到一个置换矩阵P,使PAP能够变成 0 A 的形式,其中A1和A2为方阵,则称A是可约的,否则 称A是不可约的 引理32(1)若矩阵A严格对角占优,则A非奇异 (2)若A不可约,且具有对角占优,则4非奇异 定理3.3若A是严格对角占优或A是不可约对角占优 则解方程组Ax=b的Jcob选代法和 Gauss-Seide选代法 均收敛 定理3.4SOR方法收敛的必要条件是0<<2 32 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 3232 定义3.4 若矩阵 A 通过行交换和相应的列交换，即能 找到一个置换矩阵P, 使PAPT能够变成 的形式, 其中 A11 和 A22 为方阵, 则称 A是可约的, 否则 称 A 是不可约的. ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 22 11 12 0 A A A 引理3.2 (1)若矩阵A严格对角占优, 则A非奇异. (2)若A不可约, 且具有对角占优, 则A非奇异. 定理3.3 若A 是严格对角占优或 A 是不可约对角占优, 则解方程组Ax=b的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 均收敛. 定理3.4 SOR方法收敛的必要条件是0<ω<2. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 定理3.5如果A是实对称正定矩阵,且0<0<2,则SOR 方法收敛 注由定理3.5的结论,若A是实对称正定矩阵,则 Gauss-Seidel方法收敛,但 cobi方法不一定收敛 定理3.6若A和2DA均为实对称正定矩阵,则解方程 组的 Jacobi选代法收敛(充分必要条件) 定理3.7如果4严格对角占优矩阵,则当0<0≤1时 SOR方法收敛 33 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 3333 定理3.5 如果A是实对称正定矩阵, 且0<ω<2, 则SOR 方法收敛. 注 由定理3.5的结论, 若A是实对称正定矩阵, 则 Gauss-Seidel方法收敛, 但Jacobi方法不一定收敛. 定理3.6 若A和2D-A均为实对称正定矩阵, 则解方程 组的Jacobi迭代法收敛. (充分必要条件) 定理3.7 如果A严格对角占优矩阵, 则当0<w£1时 SOR方法收敛. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 第四章方阵的特征值和特征向量 §1乘幂法 、乘幂法 用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量 定理设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x,x2,…,xn 其相应的特征值λ,λ1,…,λ满足 1>12213≥…2入 则对任取的一初始非零向量v由 vk=Avk1=…=A-v,k=1,2, 产生的向量序列{vk}满足 aX (2)im( k→》∞ k→o(Vk)m x是1所对应的特征向量,(vm表示v的第m个分量 34 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 3434 第四章 方阵的特征值和特征向量 §1 乘幂法 定理设矩阵A具有n个线性无关的特征向量x1 , x2 , ··· , xn , 其相应的特征值l1 , l2 , ··· , ln满足 一 、乘幂法 则对任取的一初始非零向量v0由 产生的向量序列{vk }满足 用来求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量. |l1 |>|l2 |³|l3 |³···³|ln | vk =Avk-1= ··· =Akv0 , k=1, 2, ··· 1 1 1 (1) lim k k k v a x ®¥ l = 1 1 ( ) (2) lim ( ) k m k k m v v l + ®¥ = x1是l1所对应的特征向量, (vk )m表示vk的第m个分量. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com
(数值分析 注1收敛速度由比值λ21确定,比值越小收敛速度就 越快,比值接近与1,收敛速度就越慢 注2当矩阵的按模最大特征值是重根时,定理的结论仍 然成立 改进的乘幂法 其中max()表示向量v的绝对值(或模)为最大的分量 maX(] A max(A"-vo) max(v,) max(Avo) lim uk Im k→∞ maX(x lim max(vk)=入1 k→∞ max(x1)k→0 35 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com
数值分析 3535 注1 收敛速度由比值|l2 /l1 |确定, 比值越小收敛速度就 越快, 比值接近与1, 收敛速度就越慢. 注2 当矩阵的按模最大特征值是重根时, 定理的结论仍 然成立. 二、改进的乘幂法 其中max(v) 表示向量 v 的绝对值(或模)为最大的分量 0 0 m 0 ax( ) v u v = 0 0 1 1 0 0 , max( ) max( ) max( ) k k k k k k k k k A v v A v v Au u A v v A v - - = = = = 1 1 lim , max( ) k k x u ®¥ x = 1 1 1 lim , max( ) k k x v x l ®¥ = × 1 lim max( ) k k v l ®¥ = PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com