我们定义三维向量的加法以及数与向量的乘法如下 (a1,a2,a3)+(b12b2,b3y)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) A(a1,a2a3)=(a1,Aa2Aa3)(其中为实数) 设向量a,B的坐标分别为(x1,y,z1)及(x2,y,z2)则 (a+B)=(xi+y+:1k)+(x2i1+ yj+=2k) x1+x2)i+(y2+y2)j+(x1+x2)k 所以a+B的坐标为 (x1+x2y1+y2,1+22)=(x1,y1,=1)+(x2,y2,z2) 设λ为一实数,则 Aa=A(x1i+y1j+1k)=Ax1i+λy1j+λ1k, 所以Aa的坐标为 (2x1,Ay,A=1)=(x1,y1,=1) 也就是说:向量和的坐标等于向量坐标的和;数λ与向量的乘积的坐标等于λ与向量坐 标的积 由a-B=a+(-B),可知a-B的坐标为 (x1y12=1)+(-x2-y2-2)=(x1-x2,y-y2,21-二2) 第三章向量空间
第三章 向量空间 我们定义三维向量的加法以及数与向量的乘法如下： ( a1 , a2 , a3 ) + (b1 , b2 , b3 ) = (a1+b1 , a2+b2 , a3+ b3 ), ( a1 , a2 , a3 ) = ( a1 , a2 , a3 ) (其中为实数). 设向量 , 的坐标分别为 (x1 , y1 , z1 )及 (x2 , y2 , z2 ) 则 ( + ) = (x1 i + y1 j + z1k ) + (x2 i1+ y2 j + z2k ) = (x1+ x2 ) i + (y2+ y2 ) j + (x1+ x2 ) k , 所以 + 的坐标为 ( x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ) = (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ). 设 为一实数，则 = (x1 i +y1 j +z1 k ) = x1 i + y1 j + z1 k , , 所以 的坐标为 ( x1 , y1 , z1 ) = ( x1 , y1 , z1 ). 也就是说：向量和的坐标等于向量坐标的和;数与向量的乘积的坐标等于与向量坐 标的积. 由 − = + (− ), 可知 − 的坐标为 ( , , ) ( , , ) ( , , ). 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 x y z + −x −y −z = x − x y − y z − z 上一页
在直角坐标系中 空间中全体向量}{全体三维向量} 设 (x2,y2,z2) 1)+( 二2), c (x1,y1,z1) a-B (x1,y1,=1)-(x2,y2,z2) 例 设向量a,B的坐标分别为(x1,y,=1及(x2,y2,z2),求2a-3B的坐标 解设2a-3月的坐标为(x,y,z),则 y =2 1,y1-1 )-3( (2x1-3x2,2y1-3y2,2=1-3z2 ‖第三章血量空凰
第三章 向量空间 在直角坐标系中: {空间中全体向量} 1−1 {全体三维向量} (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ), 则 + (x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 ), ( x1 , y1 , z1 ), (x1 , y1 , z1 ) − (x2 , y2 , z2 − ). 例 1 设向量 , 的坐标分别为 (x1 , y1 , z1 ) 及 (x2 , y2 , z2 ),求 2 −3 的坐标. 设 2 −3 的坐标为 (x, y, z), 则 (x, y, z ) = 2 (x1 , y1 , z1 ) −3 (x2 , y2 , z2 ) = (2x1 – 3x2 , 2y1 –3 y2 , 2z1 – 3z2 ). 解 设 上一页
4空间中向量的长度、方向余弦、方向角 如右图设向量a=OM=x+y+zk 则由右图可知 a|=|OM|=ⅷOH2+|HM2 ⅦhOPP2+PMP2+mMP =ⅦOP+O2+‖OR√x2+y2+ 即如果a=xi+yj+t 则a的长度为|l=√x 在空间直角坐标系中,设点P1的坐标为(x1,y2=1),点P2的坐标为(x2,y2,z2),则 B=Ob-O=(x-x)+(3-)+(=-=)x 故‖5B|x2-x)+Q3-))+(3- 从而知点P1与点P2的距离为(3-x)5+03-)5+(5= 此称空间两点的距离公式 ‖第三章血量空凰
第三章 向量空间 4. 空间中向量的长度、方向余弦、方向角 如右图,设向量 则由右图可知 || ||= xi + yj + zk z x y R • M O x y z Q P k i j H α = OM = 2 2 || OM ||= || OH || + || HM || 2 2 2 = || OP || + || PM || + || HM || 2 2 2 = || OP || + || OQ || + || OR || . 2 2 2 = x + y + z 即如果 = xi + yj + zk, . 2 2 2 = x + y + z 则 的长度为 在空间直角坐标系中，设点 P1 的坐标为 (x1 , y1 , z1 ), 点 P2 的坐标为 (x2 , y2 , z2 ), 则 故 , P1 P2 = OP2 −OP1 O P2 P1 = (x2 − x1 )i + ( y2 − y1 )j + (z2 − z1 )k || || ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 PP = x − x + y − y + z − z 从而知点P1与点P2的距离为 ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x − x + y − y + z − z 此称空间两点的距离公式. 上一页
上图中a的方向可用它与三条坐标轴的正向的夹角O,O2,03来表示(0≤01,02 03≤).6,6203称为向量a的方向角 由上图知:x=co.|coe3lcoe3 故coe .+N .+ co2co2coae3称为向量a的方向余弦 显然cos261+cos262+cos263=1 而与a同向的单位向量为 k=co、+c)4o8 C C 即 Co2 0 CO2 8 Co2e3是a0的坐标 心第三章向量实间
第三章 向量空间 || || cos , = 1 x || || cos 1 α x = , 2 2 2 x y z x + + = 上图中 的方向可用它与三条坐标轴的正向的夹角 θ1 , θ2 , θ3 来表示 (0≤ θ1 , θ2 , θ3 ≤ ). θ1 , θ2 , θ3 称为向量 的方向角. || || cos , = α 2 y || || cos , = α 3 z || || cos 2 α y = || || cos 3 α z = , 2 2 2 x y z y + + = . 2 2 2 x y z z + + = 称为向量 的方向余弦. 显然 cos 2θ1+ cos2 θ2 + cos2 θ3 =1. cos , 1 3 cos , cos 2 而与 同向的单位向量为 || || 1 = k z j y i x || || || || || || = + + = cos1 i +cosθ2 j +cos k, θ3 cos , 1 3 cos , cos 2 即 是 0 的坐标. 上一页
例2 在z轴上求与两点A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距的点M 解因为点M在z轴上,所以设M的坐标为M0,0,z),依题意知 M4l=‖MB‖l 即 )2+(1-0)2+(7-z)2=V(3-0)2+(5 由此解得z 故所求的点为M(O0,) (倒3 已知两点A421)和B(3,0,2).求向量AB的模,方向余弦和方向角及AB° 解AB=(3-40-√2,2-1)=(-√2,1 故B￥-1+(-2)+2=2,AB=1= coS a=- B COSy= 心第三章向量实间
第三章 向量空间 例 2 在 z 轴上求与两点 A(−4, 1, 7) 和 B(3, 5, −2) 等距的点M. 因为点 M 在 z 轴上，所以设 M 的坐标为 M(0, 0, z), 依题意知 ||MA|| = || MB || , 即 2 2 2 (−4 − 0) + (1− 0) + (7 − z) 由此解得 . 9 14 z = 故所求的点为 ). 9 14 M (0,0, (3 0) (5 0) ( 2 ) , 2 2 2 = − + − + − − z 解 例 3 已知两点 A(4, 2,1) 和 B(3, 0, 2). 求向量AB 的模，方向余弦和方向角及 AB AB = (3− 4,0 − 2,2 −1) = (1,− 2,1), || || ( 1) ( 2) 1 2, 2 2 2 AB = − + − + = , 2 1 cos = − , 2 2 cos = − , 2 1 cos = , 3 2 = , 4 3 = . 3 = 故 AB AB 2 1 = ). 2 1 , 2 2 , 2 1 = ( − 解 上一页