《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) =P(A-K)Pa (446) 要求误差动态方程是渐近稳定的,且6(1)以足够快的速度趋于零。因此,确定矩阵K。的步 骤是:首先选择观测器的极点(A-KC的特征值),然后确定K。,使其等于期望的观测 器极点。注意P=WR,可得 C「k1 0CA‖k K 00 ‖k k2 由于P-K是一个n维向量,则令 (4.47) 参考式(441),有 06n P-K CP= 0 和 P(A-K, C)P=P-AP-P-KCP 0 0 特征方程为 sI-P-l(A-K C)P=0

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 6  P A K C P e ( ) 1 = − −  (4.46) 要求误差动态方程是渐近稳定的，且  (t) 以足够快的速度趋于零。因此，确定矩阵 Ke 的步 骤是：首先选择观测器的极点（ A− KeC 的特征值），然后确定 Ke ，使其等于期望的观测 器极点。注意 P = WR −1 ，可得                                                 = − − − − − − − − n n n n n n n n e k k k k CA CA CA C a a a a a a P K 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1           式中             = n e k k k K  2 1 由于 P Ke −1 是一个 n 维向量，则令             = − − 1 1 1     n n P Ke (4.47) 参考式（4.41），有             =             = − − − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 1]                n n n n P KeCP 和 P A KeC P P AP P KeCP 1 1 1 ( ) − − − − = −                 − − − − − − − − = − − − − 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0     a a a a n n n n n n         特征方程为 ( ) 0 1 − − = − sI P A KeC P 即

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 00 6n S 0 a,+0 S+a1+ 或者 +(a1+81)s"+(a2+62)s"2+…+(an+n)=0 可见,每个δ;只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 (s-41)(s-2)…(S-un)=s”+a1sn1+a2s"2+…+an1s+an=0(4.49 注意,期望的特征值μ:确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式(4.48)和(4.49)的s同幂项的系数,可得 ato=a a, a +d=a 从而可得 δn 于是,由式(4.47)得到 PK 8n-an-1-an-Il 因此 K。=P|-0|=()an1-an a1 式(4.50)确定了所需的状态观测器增益矩阵K 如前所述,式(4.50)也可通过其对偶问题由式(4.13)得到。也就是说,考虑对偶系 统的极点配置问题,并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么,状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 7 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 = − + + − + − + + − − − −     s a s a s a s a n n n n n n          或者 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 1 + 1 + 1 + + + + + = − − n n n n n s a  s a  s  a  (4.48) 可见，每个δi 只与特征方程中的一个系数有关。 假设误差动态方程的期望特征方程为 ( )( ) ( ) 0 * * 1 * 2 2 * 1 − 1 − 2 − = + 1 + + + − + = − − n n n n n s  s   s  n s a s a s  a s a (4.49) 注意，期望的特征值μi 确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式（4.48）和(4.49)的 s 同幂项的系数，可得    + = + = + = n n n a a a a a a     2 2 2 1 1 1 从而可得 n n n a a a a a a = − = − = −        2 2 2 1 1 1 于是，由式（4.47）得到               − − − =             = − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 1 a a a a a a P K n n n n n n e      因此               − − − =               − − − = − − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 * 1 1 * 1 * ( ) a a a a a a WR a a a a a a K P n n n n n n n n e   (4.50) 式（4.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵 Ke 。 如前所述，式（4.50）也可通过其对偶问题由式（4.13）得到。也就是说，考虑对偶系 统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵 K。那么，状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K可由K确定(见例4.16)。 旦选择了期望的特征值(或期望的特征方程),只要系统状态完全能观测,就能设计 出全维状态观测器 Luenberger曾经指出,当观测器期望极点的选择,使衰减太快,即使A-KC特征值 的实部太负,将导致观测器的作用接近于一个微分器,从而使频带加宽,不能容忍地将高频 噪声分量放大,而且也存在观测器的可实现性问题(因为衰减速度太快,则矩阵K较大), 因此 Luenberger建议,进行观测器本身的极点配置时,只需使观测器的期望极点比由此组 成的闭环反馈系统A-BK的特征值稍大一些即可。一般地,选择的期望特征值,应使状态 观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2~5倍。 如前所述,全维状态观测器的方程为 x=(A-K,C)x+ Bu+ K (4.51) 注意,迄今为止,我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上, 这做不到。因此,误差动态方程不可能由式(4.46)给出,这意味着误差不可能趋于零。因 此,应尽量建立观测器的准确数学模型,以使相应的误差小到令人满意的程度 4.5.6求状态观测器增益矩阵Ke的直接代入法 与极点配置算法的情况类似,如果系统是低阶的(n≤3),可将矩阵K。直接代入期望的 特征多项式进行计算。例如,若x是一个3维向量,则观测器增益矩阵K。可写为 K。=k 将该K代入期望的特征多项式 C)|=(s-1s-2Xs-2) 通过使上式两端s的同次幂系数相等,即可确定出ka、ka2和k3的值。如果n=12或 者3,其中n是状态向量x的维数,则该方法十分简便(虽然该方法可应用于n=4,5,6 的情况,但计算有可能非常繁琐) 4.5.7爱克曼公式( Ackermann' s Formula) 考虑如下的单输出线性定常系统 Ax+ Bu =Cx 在42节中,我们已推导了用于式(4.52)系统极点配置的爱克曼公式,其结果已由式 (4.18)给出,现重写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 8 Ke 可由 T K 确定（见例 4.16）。 一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计 出全维状态观测器。 Luenberger 曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使 A− KeC 特征值 的实部太负，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频 噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵 Ke 较大)， 因此 Luenberger 建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组 成的闭环反馈系统 A − BK 的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态 观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快 2~5 倍。 如前所述，全维状态观测器的方程为 x A K C x Bu Ky = − e + + ~ ( ) ~  (4.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵 A 和 B 与实际系统中的严格相同。实际上， 这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（4.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因 此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。 4.5.6 求状态观测器增益矩阵 e K 的直接代入法 与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的( n  3 )，可将矩阵 Ke 直接代入期望的 特征多项式进行计算。例如，若 x 是一个 3 维向量，则观测器增益矩阵 Ke 可写为           = 3 2 1 e e e e k k k K 将该 Ke 代入期望的特征多项式 ( ) ( )( )( ) − − = − 1 − 2 − 3 sI A K C s s s e 通过使上式两端 s 的同次幂系数相等，即可确定出 e1 k 、 e2 k 和 e3 k 的值。如果 n =1,2 或 者 3，其中 n 是状态向量 x 的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应用于 n = 4, 5, 6, … 的情况，但计算有可能非常繁琐）。 4.5.7 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑如下的单输出线性定常系统 x  = Ax + Bu (4.52) y = Cx (4.53) 在 4.2 节中，我们已推导了用于式（4.52）系统极点配置的爱克曼公式，其结果已由式 （4.18）给出，现重写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K=[00…0IB:AB:…:AmBp(A) 对于由式(4.52)和(453)定义的对偶系统 E=A=+C n= B 上述极点配置的爱克曼公式可改写为 K=|00…0ICr:ACr (4)Crp'(A)(.54) 由于状态观测器的增益矩阵K。可由K给出,这里的K由式(4.54)确定。从而 CA CA 0 0 K.=K=(4) 6(A) O (AR CA CA-20 0 CA-I 式中,φ(s)是状态观测器的期望特征多项式,即 p(s)=(s-1s-42)…(s-n) 这里,μ,H2…,μn是期望的特征值。式(455)称为确定观测器增益矩阵K的爱克曼 公式 4.5.8最优le选择的注释 参考图4.5,应当指出,作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵K,通过反馈信 号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素,那么利用矩阵K。的反馈信号也应 该比较大。然而另一方面,如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰,则输出y 是不可靠的。因此,由矩阵K引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵K2时,应该仔细 检查包含在输出y中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵K依赖于期望的特征方程 (s-1)(s-2)…(S-n)=0 在许多情况中,1,H2…;n的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程,可有不同的观测器增益矩阵K。 在设计状态观测器时,最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 K。对不同的矩阵K必须进行仿真验证,以评估系统的最终性能。当然,应从系统总体 性能的观点来选取最好的K。在许多实际问题中,最优矩阵K。的选取,归结为对快速响应 及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 9 [0 0 0 1][ ] ( ) 1 1 * K B AB A B A n  − − =      对于由式（4.52）和(4.53)定义的对偶系统 n B z z A z C T T T =  = +  上述极点配置的爱克曼公式可改写为 [0 0 0 1][ ( ) ] ( ) T T T T n 1 T 1 * T K C A C A C  A − − =      (4.54) 由于状态观测器的增益矩阵 Ke 可由 T K 给出，这里的 Ke 由式（4.54）确定。从而                 =                                 =                                 = = − − − − − − − 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) * 1 1 1 2 * 1 1 2 *     A R  CA CA CA C A CA CA CA C K K A n n n n T T T e    (4.55) 式中， ( ) *  s 是状态观测器的期望特征多项式，即 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 * n  s = s −  s −   s −  这里，μ1, μ2, …,μn 是期望的特征值。式（4.55）称为确定观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼 公式。 4.5.8 最优 e K 选择的注释 参考图 4.5，应当指出，作为对观测器动态方程修正的观测器增益矩阵 Ke ，通过反馈信 号来考虑系统中的未知因素。如果含有明显的未知因素，那么利用矩阵 Ke 的反馈信号也应 该比较大。然而另一方面，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出 y 是不可靠的。因此，由矩阵 Ke 引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵 Ke 时，应该仔细 检查包含在输出 y 中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵 Ke 依赖于期望的特征方程 (s − 1 )(s −  2 )(s −  n ) = 0 在许多情况中，μ1, μ2, …,μn 的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作为期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的观测器增益矩阵 Ke 。 在设计状态观测器时，最好在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 Ke。 对不同的矩阵 Ke 必须进行仿真验证，以评估系统的最终性能。当然，应从系统总体 性能的观点来选取最好的 Ke 。在许多实际问题中，最优矩阵 Ke 的选取，归结为对快速响应 及对干扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。 ------------------------------------------------------------------------------

《现代控制理论基础》第四章(讲义) [例4.2]考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu 式中 020.6 C=[01 设计一个全维状态观测器。设系统结构与图45所示相同。又设观测器的期望特征值为 1=-1.8+j24,2=-1.8-24 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵K。,为此先检验 能观测性矩阵,即 的秩为2。因此,该系统是完全能观测的,并且可确定期望的观测器增益矩阵K。。我们将 用3种方法来求解该问题。 I解」方法1:采用式(450)来确定观测器的增益矩阵。由于该状态空间表达式已是能观 测标准形,因此变换矩阵P=(R)=1。由于给定系统的特征方程为 20.6 ISI-Al =s2-20.6=s+a1S+a2=0 因此 0.6 观测器的期望特征方程为 (S+18-j24)(s+1.8+j24)=s2+36s+9=s2+a1s+a2 因此 36,a2=9 故观测器增益矩阵K可由式(4.50)求得如下 K=()-a2-a2 109+2061296 a -a 0113.6-0 3.6 方法2:参见式(4.31) e=(A-k,c)e 观测器的特征方程为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 10 [例 4.2] 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 式中 , [0 1] 1 0 , 1 0 0 20.6 =       =       A = B C 设计一个全维状态观测器。设系统结构与图 4.5 所示相同。又设观测器的期望特征值为 1 = −1.8+ j2.4, 2 = −1.8− j2.4 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵 Ke ，为此先检验 能观测性矩阵，即       = 1 0 0 1 [ ] T T T C  A C 的秩为 2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵 Ke 。我们将 用 3 种方法来求解该问题。 [解] 方法 1：采用式（4.50）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态空间表达式已是能观 测标准形，因此变换矩阵 P = WR = I −1 ( ) 。由于给定系统的特征方程为 20.6 0 1 20.6 | | 1 2 2 2 = − = + + = − − − = s s a s a s s sI A 因此 a1 = 0, a2 = −20.6 观测器的期望特征方程为 * 2 * 1 2 2 (s +1.8 − j2.4)(s +1.8 + j2.4) = s + 3.6s + 9 = s + a s + a 因此 3.6, 9 * 2 * a1 = a = 故观测器增益矩阵 Ke 可由式（4.50）求得如下       =      − +       =         − − = − 3.6 29.6 3.6 0 9 20.6 0 1 1 0 ( ) 1 * 1 2 * 1 2 a a a a Ke WR 方法 2：参见式（4.31） e A K C e e  = ( − ) 观测器的特征方程为 sI − A+ KeC = 0