大学数学（二）：线性代数标准课件 第五章(续） 欧氏空间

定义4.1两平面x1,x2的法方向n,n2的夹角称 为平面κ和z的夹角通常指锐角) 丌1:A1x+Bu+C1+D1=0, 丌:A2x+B2C2z+D2=0 如何求其间夹角0? 由平面方程,知n=(41,B1,C1n2=(42,B2,C2) 分别为z1,2的法向,故 A1A,+BiB 2 +C1c cos e hn1|+B+GV好+B+C 丌 0<b≤ 2

 1 : A1x+B1y+C1 z+D1=0,  2 : A2x+B2y+C2 z+D2=0. 如何求其间夹角？ 分别为 1 ， 2 的法向，故 cos = =   | | | | | | 1 2 1 2 n n n n , 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A B C A B C A A B B C C + + + + + + 2 0     定义4.1 两平面 1 ,  2 的法方向n1 , n2的夹角称 为平面 1和 2 的夹角 (通常指锐角). 由平面方程，知 n1=(A1 , B1 , C1 )、n2=(A2 , B2 , C2 )

两平面垂直←→n12=0<→A1A2+B1B2+C1C2=0; 两平面平行<→n1Xn2=0∈→A142=B1:B2=C1:C2 k A1B1C1=0 A, B c2 2 (B1C2-B2C1)-(41C2-A2C1)j+(A1B2-A2B1)k (B1C2-B2C1,AC2-A2C1,A1B2-A2B1) 0 0 0 即 A1:A,=B1:B2=C

A1A2+B1B2+C1C2=0; 两平面平行 0 2 2 2 1 1 1 = A B C A B C i j k (B C B C )i (A C A C ) j (A B A B )k 1 2 − 2 1 − 1 2 − 2 1 + 1 2 − 2 1 = = ( , , ) B1 C2 −= B2 C1 A1 C2 −= A2 C1 A1 B = 2 − A2 B1 A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2 . 两平面垂直 n1 n2=0 n1n2=0  A1 :A2=B1 : B2=C1 :C2 . 0 0 0 即

特殊情形: 平行不重合←→A1A2=B1:B2=C1:C2≠D1:D2 重合<→A1:A2=B1:B2=C1C2=D1D2

平行不重合 重合 A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2 D1 :D2 ; A1 :A2=B1 :B2=C1 :C2= D1 :D2 . 特殊情形：

例45设平面n过点M(1,0,0),M(,1,1)且与 平面n:x+y+z=0垂直,求平面x 解 设x法向n1=(1,1,1) 则平面x∥n1 而x过点M1,M2故 平面x∥M1M2 M 因此,平面x⊥n1×M1M2 即x的法向n=m1×M1M2

例4.5 设平面  过点 M1 (1, 0, 0), M2 (1, 1, 1) 且与 平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 . 而  过点M1 , M2 . 故 平面  // M1M2 . 设 1 法向 n1=(1, 1, 1). 因此，平面 ⊥n1M1M2 .  n1 • M1 M2 • 即 的法向 n =n1M1M2 . 则 平面  // n1 . 解：

n=(1,1,1)×(1-1,1-0,1-0) +k=(0,-1,1) 故得平面z方程为 0(x-1)-(y-0)+(二-0)=0 即 y+z=0

0 1 1 1 1 1 i j k = = − j + k = (0, −1, 1). 故得平面 方程为 0(x −1) − ( y − 0) + (z − 0) = 0. 即 − y + z = 0. n = (1, 1,1) (1−1, 1− 0, 1− 0)