丌:Ax+By+Cz+D=0之特例 ()平面过原点∈→D=0, (i)π∥x轴←→A=0, π∥/轴←→B=0 π∥/轴←→C=0 (i)A=B=0←→π∥/x轴,π∥j轴, →兀∥xy平面 B=C=0<→兀/z平面, A=0→π∥∠x平面, (V)4=B=D=0∈→Cz=0←→=0←→x平面
： Ax+By+Cz+D=0 之特例. (i) 平面过原点 D=0, (ii) // x轴 A=0, // y轴 B=0, // z轴 C=0, (iii) A=B=0 // x轴, // y轴, // xy 平面, B=C=0 //yz 平面, C=A=0 //zx 平面, (iv) A=B=D=0 Cz=0 z=0 xy平面
例43.求过y轴和点M1,1,1)的平面方程 解:设平面方程为Ax+Cz+D=0 由于过y轴,故过原点.∴D=0 且因平面过点M(1,1,1),得 A.1+C.1=0→A=-C 平面方程为Ax-A=0 A≠0,平面方程为x-z=0
例4.3. 求过 y 轴和点 M(1, 1, 1) 的平面方程. 解：设平面方程为Ax+Cz+D=0. 由于过 y 轴, 故过原点. D=0, 且因平面过点 M(1, 1, 1)，得 A1+C 1=0 A=− C. 平面方程为 Ax−Az=0. A 0, 平面方程为x− z =0
例44设平面z与x,y,z轴分别交于P(p,0,0) Q(0,4q,0),R(0,0,r),求丌的方程其中, q,r非零 解:设平面为方程Ax+By+Cz+D=0 则Ap+D=Bq+D=Cr+D=0 B C 平面方程为 DD +D=0 g
例4.4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r 非零. 解：设平面 为方程 A x + B y + C z + D = 0. 则 A p+D = B q + D = C r + D = 0. , p D A = − , g D B = − , r D C = − 平面方程为 − − − z + D = 0. r D y g D x p D
由于D≠0,上式化简得 1 截距式方程 丌在x轴 上截距 丌在y轴z在z轴 上截距上截距
+ + = 1. r z g y p x 在 x 轴 上截距 在 y 轴 上截距 在 z 轴 上截距 截距式方程 由于D0, 上式化简得
3两平面的夹角 我们目前已对平面本身的解析关系描述得 较清楚了.现在讨论两平面间的关系 般说来,两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合→两平面法向致但无交点 两平面平行重合→两法向一致且有交点 两平面不平行相交两平面垂直两法向垂直 相交但不垂直→两法向不共线 也不垂直 桥梁 法向夹角
3 两平面的夹角 我们目前已对平面本身的解析关系描述得 较清楚了. 现在讨论两平面间的关系. 一般说来，两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合. 两平面平行重合. 两平面不平行相交 两平面法向一致但无交点 两法向一致且有交点 两平面垂直 相交但不垂直 两法向垂直 两法向不共线 也不垂直 桥梁 法向夹角