a a2…an … … … a…aw aa2…an 这里，第一步是把第k行加到第行，第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行，第三步是把第 k行加到第1行，最后再把第k行的公因子(-1)提出。 例1计算n级行列式 a bb bab… b d=b ba… b bbb…a 这个行列式的特点是每一行有一个元素是a,其余n-1个元素是b。根据性质6，把第二列加 到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式也不变，一直继续下去，直到第列 也加到第一列，即得 la+(n-1)bbb… b 1 6b-6 a+(n-1)b a b 1ab…b d=a+(n-10bba…b=a+n-1)b]1ba…b a+(n-1)bbb... 1 bb...a 把第二行到第n行都分别加上第一行的-1倍，就 1 b b 6 0a-b0. 0 d=[a+(n-)b]00 a-b… 00 0…a-b 这是一个上三角形的行列式，即得 d =[a+(n-1)bka-b)"- 例2一个n级行列式，假设它的元素满足 ay=-a,j-1,2,,n (4) 证当”为奇数时，此行列式为零 由(4)立即推知，an=-a,即a.=0,i=l,2,…, 因此，此行列式明显地写出来就是
=- n n nn i i in k k kn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 这里，第一步是把第 k 行加到第 i 行，第二步是把第 i 行的（-1）倍加到第 k 行，第三步是把第 k 行加到第 i 行，最后再把第 k 行的公因子（-1）提出。 例 1 计算 n 级行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b d = 这个行列式的特点是每一行有一个元素是 a ，其余 n −1 个元素是 b 。根据性质 6，把第二列加 到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式也不变，一直继续下去，直到第 n 列 也加到第一列，即得 a n b a n b b b a a n b b a b a n b a b b a n b b b b d ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = + − + − + − + − + − = b b a b a b a b b b b b 1 1 1 1 把第二行到第 n 行都分别加上第一行的-1 倍，就有 d = a + (n −1)b a b a b a b b b b − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 这是一个上三角形的行列式，即得 1 ( 1) ( ) − = + − − n d a n b a b 例 2 一个 n 级行列式，假设它的元素满足 aij = −a ji ,i, j = 1,2, ,n （4） 证当 n 为奇数时，此行列式为零 由（4）立即推知， aii = −aii ，即 aii = 0,i =1,2, ,n 因此，此行列式明显地写出来就是
0 a23 d2 -dy -d 0 … -dz -d3 0 由性质1,2有 0 a12 413 0 -12 -13 -a1 a1 0 0 -a2 d= -av o … -du 01 -d3 aun … 0/ aun 030 … 0 10 a a … 下a2 0 a33 … 0 -d23 0 … … amn-am-an… 当n为奇数时，得d=-d,因而d=0。 第五节 行列式的计算 下面我们利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法。 在§3中我们看到， 、 一个上三角形行列式 aia24s…an 0a2a2s…a2n 00as…am 000…anm 就等于它主对角线上元素的乘积 aazd3a 这个行列式的计算是很简单的，下面我们想方法把任意的级行列式化为上三角形列式来计 算。 为了便于叙述并考虑到以后的应用，我们引进矩阵及矩阵的初等变换的概念 定义5由sm个数排成的s行（横的）n列（纵的）的表 a1a2…an a21a22+a2 (1) a1a2…am 称为一个s×n矩阵 例如
0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a − − − − − − 由性质 1，2 有 0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a d − − − − − − = = 0 0 0 0 1 2 3 13 23 3 12 23 2 12 13 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a − − − − − − = d a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ( 1) 0 0 0 0 ( 1) 1 2 3 1 3 2 3 3 1 2 2 3 2 1 2 1 3 1 = − − − − − − − − 当 n 为奇数时，得 d = −d ，因而 d = 0。 第五节 行列式的计算 下面我们利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法。 在§3 中我们看到，一个上三角形行列式 nn n n n a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 33 3 22 23 2 11 12 13 1 就等于它主对角线上元素的乘积 a11a22a33 ann 这个行列式的计算是很简单的，下面我们想方法把任意的 n 级行列式化为上三角形列式来计 算。 为了便于叙述并考虑到以后的应用，我们引进矩阵及矩阵的初等变换的概念。 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行(横的) n 列(纵的)的表 s s sn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (1) 称为一个 sn 矩阵。 例如