au.a4h…ah (11) 其中中…，2…n是两个n级排列。利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 (12) 事实上，为了根据定义来决定(11)的符号，就要把这个元素重新排一下使得它们的行指 标成自然顺序，也就是排成 aa2g…a (13) 于是它的符号是 (-)i6 (14) 现在来证明，(12)与(14)是一致的。我们知道，由(11)变到(13)可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列42…n与2…jn就都同时 作一次对换，也就是心2…)与U2…)同时改变奇偶性，因而它们的和 t(4…in)+t(Uj2…jn) 的奇偶性不改变。这就是说，对(11)作一次元素的对换不改变(12)的值。因此，在一系列 对换之后有 (-1D4Uh-=(-1D2G=(- 这就证明了(12)与(14)是一致的。 例如，a21424,a是4级行列式中一项，t(2314)=2,r1243)=l,于是它的符号应为 (-1)2=-1。如按行指标排列起来，就是a42a2ag,t(4123)=3因而它的符号也是(-)3=-1。 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因 而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 an an…an ia2…an ∑-l）w0a4ua2…an (15) an a2…anm 由此即得行列式的下列性质 性质1行列互换，行列式不变，即 a1a2…aa1a2…anl aian…an …… (16) an1an2…aaun a2n…anm 事实上，元素a,在(16)的右端位于第j行第i列，这就是说，i是它的列指标，j是它的 行指标。因之，把右端按(15)展开就等于
n n ai j ai j ai j 1 1 2 2 （11） 其中 n n i i i j j j 1 2 1 2 , 是两个 n 级排列。利用排列的性质，不难证明，（11）的符号等于 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n i i i + j j j （− ） （12） 事实上，为了根据定义来决定（11）的符号，就要把这 n 个元素重新排一下使得它们的行指 标成自然顺序，也就是排成 n a ja j anj 1 1 2 2 （13） 于是它的符号是 ( ) 1 2 ( 1) n j j j − （14） 现在来证明，（12）与（14）是一致的。我们知道，由（11）变到（13）可以经过一系列元素 的对换来实现。每作一次对换，元素的行指标与列指标所指的排列 n n i i i j j j 1 2 与 1 2 就都同时 作一次对换，也就是 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n i i i 与 j j j 同时改变奇偶性，因而它们的和 ( ) ( ) 1 2 n 1 2 n i i i + j j j 的奇偶性不改变。这就是说，对（11）作一次元素的对换不改变（12）的值。因此，在一系列 对换之后有 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 n n i i i + j j j （− ） = (12 ) ( ) 1 2 1 n n + j j j − （ ） = ( ) 1 2 ( 1) n j j j − 这就证明了（12）与（14）是一致的。 例如， a21a32a14a43 是 4 级行列式中一项， (2314) = 2, (1243) = 1, 于是它的符号应为 ( 1) 1 2 1 − = − + 。如按行指标排列起来，就是 , (4123) 3, a14a21a32a43 = 因而它的符号也是 ( 1) 1 3 − = − 。 按（12）来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因 而为了决定每一项的符号，我们同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 i i i n i i i i ii i n n n a a a 1 2 ( ) 1 2 1 2 1 2 = (−1) （15） 由此即得行列式的下列性质 性质 1 行列互换，行列式不变，即 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 = （16） 事实上，元素 ij a 在（16）的右端位于第 j 行第 i 列，这就是说， i 是它的列指标， j 是它的 行指标。因之，把右端按（15）展开就等于
∑(-)rhw'aah…a。 ivbt 它正是左端按(6)的展开式。 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样 成立。例如，由(8)即得下三角形的行列式 a00…0 a21a2z0…0 =aa22…am (17) 口mlan2an3…anm 第四节n级行列式的性质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个麻烦的问题。级行列式一共有项，计算它 就需要做(-)个乘法。当n较大时，是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几 乎是不可能的事。因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质可以化简行列式 的计算。 在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行 与列，所以对于某一确定的行中个元素来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个 元素。因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有a1,第二组的项都含有a2 等等。再分别把i行的元素提出来，就有 a1a12…an ia2…an ………… =anAn+anA2++aimAim (1) aia2…an 其中A,代表那些含有a,的项在提出公因子a,之后的代数和，至于A,究竞是哪些项的和哦们 暂且不管，到第6节再来讨论。从以上讨论可以知道，A,中不再含有第1行的元素，也就是 A,A2,,A全与行列式中第i行的元素无关。由此即得 性质2 aia…aaa…an … …… 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当与用这个数乘此行 列式。 事实上，由(1)
n n n j j nj j j j j j j a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) (−1) 它正是左端按（6）的展开式。 性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样 成立。例如，由（8）即得下三角形的行列式 nn n n n nn a a a a a a a a a a 11 22 1 2 3 21 22 11 0 0 0 0 0 = （17） 第四节 n 级 行 列 式 的 性 质 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个麻烦的问题。 n 级行列式一共有 n! 项，计算它 就需要做 n!(n −1) 个乘法。当 n 较大时， n! 是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几 乎是不可能的事。因此，我们有必要进一步讨论行列式的性质，利用这些性质可以化简行列式 的计算。 在行列式的定义中，虽然每一项是 n 个元素的乘积，但是由于这 n 个元素是取自不同的行 与列，所以对于某一确定的行中 n 个元素来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个 元素。因之， n 级行列式的 n ！项可以分成 n 组，第一组的项都含有 i1 a ，第二组的项都含有 i2 a 等等。再分别把 i 行的元素提出来，就有 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ainAin （1） 其中 i j A 代表那些含有 ij a 的项在提出公因子 i j a 之后的代数和，至于 i j A 究竟是哪些项的和我们 暂且不管，到第 6 节再来讨论。从以上讨论可以知道， Aij 中不再含有第 i 行的元素，也就是 Ai Ai Ain , , , 1 2 全与行列式中第 i 行的元素无关。由此即得 性质 2 n n nn i i i n n n n nn i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当与用这个数乘此行 列式。 事实上，由（1）
…… kan ka,2…kaa=ka1Ai+ka2A2+…+kau Au an dn2…anm =k(anAn+a4++aAm) a1a2an =kaaa…an 令k=0,就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零。 性质3 an…ala a…a …… b +c b+c…b+c=b b2…bn … am 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列 式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。 事实上，设这一行是第1行，于是 a1 ...aim b+C1b2+c3…bn+c =(6+G)A1+(b2+c2)A2+…+(bn+cn)Am =(b,A1+b2A2+…+bnAm)+(CA1+C2A2+…+cnAm) a1a2…aaa,a2…an 。 =bb2…bn+cC2…ca … … … anla2…a d1an2…am 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元 素都相同。 证明设行列式
n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a 1 2 1 2 11 12 1 i i i i inAin = ka1A1 + ka 2A2 ++ ka ( ) ai1Ai1 ai2Ai2 ainAin = k + ++ n n nn i i in n a a a a a a a a a k 1 2 1 2 11 12 1 = 令 k = 0, 就有，如果行列式中一行为零，那么行列式为零。 性质 3 n n nn n n n a a a b c b c b c a a a 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + n n nn n n a a a b b b a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + n n nn n n a a a c c c a a a 1 2 1 2 11 12 1 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列 式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。 事实上，设这一行是第 i 行，于是 n n nn n n n a a a b c b c b c a a a 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = i i n n Ain (b c )A (b c )A (b c ) 1 + 1 1 + 2 + 2 2 ++ + = (b1Ai1 + b2Ai2 ++ bn Ain ) + ( ) 1 i1 2 i2 nAin c A + c A ++ c n n nn n n a a a b b b a a a 1 2 1 2 11 12 1 = + n n nn n n a a a c c c a a a 1 2 1 2 11 12 1 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元 素都相同。 证明 设行列式
a1a2an aaa…am (2) ”” aa2…am 中第i行与第k行相同，即 ag=a,j=12,…,n (3) 为了证明(2)为零，只须证明(2)的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上与项 ∑-4aa…a4…a 同时出现的还有 ∑(-l1)h-a…an…a%…am. 比较这两项，由(3)有 a%=a,4=a 也就是说，这两项有相同的数值。但是排列 j……jg…jn与…j……jn 相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。易知，全部级排列可以按上 述形式两两配对。因之，在(2)的右端对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对 出现，从而行列式为零 由这三个性质我们不难推得行列式其他的一些性质。 性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 证明 aa…am laa2…an ……… ………… aa2…an a1a2… ………=……… =0 kan kar…ka 1a2… … a2…am ala2…ann 这里第一步是根据性质2，第二步是根据性质4。 性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 证明
i k n n i k n j i j kj nj j j j j j j n n n n k k kn i i i n n a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = (−1) （2） 中第 i 行与第 k 行相同，即 aij = akj , j = 1,2, ,n （3） 为了证明（2）为零，只须证明（2）的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上与项 i k n n i k n j ij kj nj j j j j j j a a a a 1 1 1 1 ( ) (−1) 同时出现的还有 k i n n k i n j ij kj nj j j j j j j a a a a 1 1 1 1 ( ) (−1) 比较这两项，由（3）有 i i k k aij = akj ai j = akj , 也就是说，这两项有相同的数值。但是排列 i k n k i n j j j j j j j j 1 与 1 相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。易知，全部 n 级排列可以按上 述形式两两配对。因之，在（2）的右端对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对 出现，从而行列式为零。 由这三个性质我们不难推得行列式其他的一些性质。 性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。 证明 = n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 0 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k 这里第一步是根据性质 2，第二步是根据性质 4。 性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 证明
a13 a1a2…an ah+ca1a2+ca2…am+cae 92 = … a … a a12 … anan … ca an … 0 09 a 这里，第一步是根据性质3，第二步是根据性质5。 性质？对换行列式中两行的位置，行列式反号。 证明 … 8 an +an a2+ak2…an+a 、 0 。 … a2+a2 +ak a2 -dn -dn … …
= + + + n n nn k k kn i k i k i n kn n a a a a a a a ca a ca a ca a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 n n nn k k kn i i in n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 + n n nn k k kn k k kn n a a a a a a ca ca ca a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn k k kn i i in n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 这里，第一步是根据性质 3，第二步是根据性质 5。 性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。 证明 n n nn k k kn i i in n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 = n n nn k k kn i k i k in kn n a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 + + + = n n nn i i in i k i k in kn n a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 − − − + + + = n n nn i i in k k kn n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 11 12 1 − − −