《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第二十章 曲线积分

As, = /p"(t)) +y'(t;)At, (ti-1 <t; <t,)所以Zf(5i, n;)As;i=1-Z f(p(t), V(t)/p"(t) +y"(t)At,i-1这里 ti-1 ≤t, t' ≤t,. 设=Z f((t), y(t)I0"(t)+y"(t) -p"(t) +y"(t)1At,i=1则有后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 1 ( ) ( ) ( ). i i i i i i i s t t t      −  = +         1 ( , ) n i i i i f s   =   2 2 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) , n i i i i i i f t         = = +         2 2 2 2 1 ( ( ), ( ))[ ( ) ( ) ( ) ( )] , n i i i i i i i i              f t = = + − +             所以 1 , . i i i i 这里 t t −       设 则有

Zf(5, n:)As;i=1-Z f(p(t), y(t)p"(t) + y"(t')At, +o. (4)i=1令 △t = max[△t,△t2,,△t,,则当[T→0 时, 必有△t →0. 现在证明limα = 0.At->0因为复合函数f(p(t),(t))关于t连续，所以在闭区间[α,β]上有界,即存在常数M,使对一切 t E[α,β]都有返回前页后页

前页 后页 返回 1 ( , ) n i i i i f s   =   2 2 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) . (4) n i i i i i i f t          =  = +  +        令 max{ , , , }, 0 , 1 2 n  =    → t t t t T 则当 时 必有  →t 0. 0 lim 0. t   → 现在证明 = 因为复合函数 f t t t ( ( ), ( ))   关于 连续, 所以在闭区 间 [ , ]   上有界, 即存在常数 M, 使对一切 t [ , ]   都有

1 f(p(t), y(t)< M再由p"(t)+"(t) 在[α, β]上连续，所以它在[α,β]上一致连续，即对任给的>0,必存在S>0使当 △t<s 时，No"(t')+y"(t') -Vo"(t)+y"(t)<8,从而I8Mat, =8M(b-a),i=-1所以 lim = 0.Nt->0后页返回前页

前页 后页 返回 | ( ( ), ( )) | . f t t M    2 2 再由       ( ) ( ) [ , ] t t + 在 上连续, 所以它在 [ , ]   上一致连续, 即对任给的   0, 必存在  0, 使当  t  时, 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,          i i i i         + − +  从而 1 | | ( ), n i i    M t M b a =   = −  所以 0 lim 0. t   → =

再由定积分定义2lim E f(p(t), y(t)o"(t) +y"(t)AtNt>0i=1= J' f((t),y(t)/p"(t) +y"(t)dt.因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式当曲线 L由方程=(x),xE[a,b]表示,且(x)在[a,b]上有连续的导函数时，(3)式成为J,f(x,y)ds = ' f(x,y(x)/1 +y"(x)dx;后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 0 1 lim ( ( ), ( )) ( ) ( ) n i i i i i t i f t          → =        +  2 2 ( ( ), ( )) ( ) ( )d . b a = + f t t t t t        因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. [ , ] a b 上有连续的导函数时, (3)式成为 = +    2 ( , )d ( , ( )) 1 ( )d ; b L a f x y s f x x x x   再由定积分定义 当曲线 L 由方程 y x x a b =  ( ), [ , ] 表示, 且  ( ) x 在

当曲线L由方程x=β(y),ye[c,d]表示,且(y)在[c,d]上有连续导函数时,(3)式成为J, (x, y)ds = f" f(p(y), y)/1 + p"(y)dy.例1设L是半圆周x =acost,L:30≤t≤元,y=asint,试计算第一型曲线积分(,(x2+y")ds.解J,(x' + y'")ds = f" a' /a'(cos' t + sin't)dt = a'n.后页返回前页

前页 后页 返回 [ , ] c d 上有连续导函数时, (3)式成为 = +    2 ( , )d ( ( ), ) 1 ( )d . d L c f x y s f y y y y   例1 设 L 是半圆周  =     = cos , : 0 π, sin , x a t L t y a t 试计算第一型曲线积分 +  2 2 ( )d . L x y s 解 π 2 2 2 2 2 2 3 0 ( )d (cos sin )d π. L x y s a a t t t a + = + =   当曲线 L由方程 x y y c d =  ( ), [ , ] 表示, 且 ( ) y 在