量可由第一型曲线积分(1)或(2)求得1. 若, ,(x, )ds(i= 1,2,.,)在c,(i=1, 2, ,k)为人常数,则[,c;f(x,y)ds 也存在,且i-1J,Zef(x, y)ds -ZcJ, J(x, y)ds.i=1i=12.若曲线段L由曲线L,Lz，,L,首尾相接而成J f(x, y)ds(i=1,2,,k)都存在, 则 J,(x, y)ds也存在，且后页返回前页
前页 后页 返回 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. ( , )d ( 1,2, , ) i L f x y s i k = ( 1, 2, , ) i 1. 若 在 c i k = 为 常数, 则 1 ( , )d k i i L i c f x y s = 也存在, 且 1 1 ( , )d ( , )d . k k i i i i L L i i c f x y s c f x y s = = = L 1 2 , , , 2. 若曲线段 由曲线 L L Lk 首尾相接而成, ( , )d ( 1,2, , ) Li f x y s i k = ( , )d L f x y s 都存在 , 则 也存在, 且
J, f(x, y)ds =ZJ, J(x, y)ds.i=13. 若[,f(x, J)ds与[,g(x,y)ds都存在,且在L上f(x, y)≤g(x, y),则J,f(x, y)ds≤ J,g(x, y)ds.4. 若[,f(x, y)ds 存在,则[, I(x,y)lds 也存在,且IJ, f(x, y)ds≤ J,1 f(x, y)| ds.前页后页返回
前页 后页 返回 1 ( , )d ( , )d . i k L L i f x y s f x y s = = 3． ( , )d ( , )d L L 若 f x y s g x y s 与 都存在, 且在 L 上 f x y g x y ( , ) ( , ), 则 ( , )d ( , )d . L L f x y s g x y s 4． ( , )d ( , ) d L L 若 f x y s f x y s 存在,则 | | 也存在, | ( , )d | | ( , ) | d . L L f x y s f x y s 且
5.若,f(x,J)ds 存在,L的弧长为s，则存在常数c,使得[,f(x, y)ds = cs,这里inf f(x, y)≤c≤sup f(x, y)LL6.第一型曲线积分的几何意义若L为坐标平面Oxy上的分段光滑曲线,f(x,y)为L上定义的连续非负函数.由第一型曲线的定义，易见以L为准线，母线平行于z轴的柱面上截取返回前页后页
前页 后页 返回 ( , )d L 若 f x y s 5． 存在, L 的弧长为 s, 则存在常数 ( , )d , L f x y s cs = c, 使得 inf ( , ) sup ( , ). L L 这里 f x y c f x y 6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy 上的分段光滑曲线, f x y ( , ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L 为准线 z , 母线平行于 轴的柱面上截取
0≤z≤f(x,)的部分的面积就是f (x, y)ds.Nz = f(x,y)yLx图20-1前页后页返回
前页 后页 返回 0 ( , ) z f x y ( , )d . L f x y s 的部分的面积就是 y x z O L z f x y = ( , ) 图20 1 −
二，第一型曲线积分的计算x = p(t), t e[α,βl,设有光滑曲线L：定理20.1讠(y =y(t),f(x,y)为定义在L上的连续函数,则J, f(x,y)ds = Jβ f(p(t), y(t)/o"(t) +y"(n)dt. (3)证 由弧长公式知道,L上由t =t-, 到t=t, 的弧长As, = f", V"(t) +y"(t)dt.由√p"(t)+"(t)的连续性与积分中值定理,有后页返回前页
前页 后页 返回 二． 第一型曲线积分的计算 定理20.1 设有光滑曲线 ( ), : [ , ], ( ), x t L t y t = = f x y ( , ) 为定义在 L 上的连续函数, 则 2 2 ( , )d ( ( ), ( )) ( ) ( )d . (3) L f x y s f t t t t t = + L i i 1 证 由弧长公式知道, 上由 t t t t = = − 到 的弧长 1 2 2 ( ) ( )d . i i t i t s t t t − = + 2 2 由 ( ) ( ) t t + 的连续性与积分中值定理, 有