例2 设 L是 y2= 4x 从 0(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),试计算第一型曲线积分[,yds.ytA / y=4xJ`1+兰dy解[. yds =311-2.2(1+岁)3410o1x4.4(2 /2 - 1).图20-23仿照定理20.1,对于空间曲线积分(2)，当曲线L由参量方程 x = p(t),y= (t),z = x(t),t e[α, βl表示时,前页后页返回
前页 后页 返回 例2 = 2 设 L y x O A 是 4 (0,0) (1,2) 从 到 一段(图20-2), 试计算第一型曲线积分 d . L y s 解 = + 2 2 0 d 1 d L 4 y y s y y 2 2 3 2 0 2 2 (1 ) 3 4 y = + 4 (2 2 1). 3 = − 仿照定理20.1, 对于空间曲线积分(2), 当曲线 L 由参 量方程 x t y t z t t = = = ( ), ( ), ( ), [ , ] 表示时, O y 1 x 2 y x = 4 图20 2 − A
其计算公式为：J,f(x, y,z)ds= J f(p(t),y(t), x(t)/g"(t) + y"(t) + x"(t)dt. (7)例3计算{,x'ds,其中 L为球面x2+2+z2=α2被平面x++z=0所截得的圆周解由对称性知[, x'ds =I,y'ds = I,z'ds所以后页返回前页
前页 后页 返回 ( , , )d L f x y z s 2 2 2 f t t t t t t t ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ) ( )d . (7) = + + 其计算公式为: 2 d , L x s L + + = 2 2 2 2 例3 计算 其中 为球面 x y z a 被平面 x y z + + = 0 所截得的圆周. 解 由对称性知 = = 2 2 2 d d d , L L L x s y s z s 所以
2a3 x'ds =,(x* + y' + 2.)ds =d一元a3 JL33J144*例4 计算[,(x3+y3 +x+y)ds,其中L为内摆线444x3 +y' =a.解由对称性知I, xds = J, yds = 0,D[xids = Jyids =4 f xids,LLL前页后页返回
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 3 1 2 d ( )d d π . L L L 3 3 3 a x s x y z s s a = + + = = 4 4 3 3 ( + )d , L x y x y s + + *例4 计算 其中 L 为内摆线 4 3 4 4 3 3 x y a + = . 解 由对称性知 d d 0, L L x s y s = = 1 4 4 4 3 3 3 d d 4 d , L L L x s y s x s = =
其中 L, =((x,y) e L,x,y ≥0).而内摆线的参数方程为x= acos' t, =asi't, e[o."]因此44[,(x3 +y3 + x+ y)ds =8[, x3ds7= 8/2 a3 cos* t . 3a sin t costdt = 4a3.a*例5求圆柱面x2+=α被圆柱面2+z=α2所后页返回前页
前页 后页 返回 其中 L x y L x y 1 = ( , ) , , 0 . 3 3 cos , sin , 0, . 2 x a t y a t t = = 4 4 4 3 3 3 ( + )d 8 d L L x y x y s x s + + = 4 7 3 3 4 2 0 8 cos 3 sin cos dt 4 . a t a t t a = = 2 2 2 x y a + = 2 2 2 *例5 求圆柱面 被圆柱面 y z a + = 所 而内摆线的参数方程为 因此
包围部分的面积A解图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分它的面积为A,=.把 0xy平面上的x + y°=a28位于第一象限的四分之一圆周记为L，则被围柱面在第一卦限部分正是以曲线L为准线母线平行于z轴的0≤z≤α2-x2的那部分柱面.由第一型曲面积分的几何意义可知它的面积为A, =J Va' - x'ds.前页后页返回
前页 后页 返回 包围部分的面积 A. 解 图中直影线部分为被围柱面在第一卦限的部分, 0 . 8 A 它的面积为 A = 把 Oxy 平面上的 2 2 2 x y a + = 位于第一象限的四分之一圆周记为 L , 则被围柱面 在第一卦限部分正是以曲线 L 为准线母线平行于z 积分的几何意义可知它的面积为 2 2 0 ds. L A a x = − 2 2 轴的 0 − z a x 的那部分柱面. 由第一型曲面