相容范数 定义344设‖x,4分别为R”和R 的一种范数,如果 Ax alxa 则称该矩阵范数‖A‖与此向量范数‖x‖是相容的
相容范数 则称该矩阵范数 与此向量范数 是相容的。 的一种范数 如果 定义 设 分别为 和 || || || || || || || || || || , 3.4.4 || ||,|| || A x Ax A x x A R R n n n
算子范数 定理342设x∈Rn,A∈R,并在R上 定义向量范数‖x1l,则 Ax A =max=max Ax x 为R上的矩阵范数,且称其为算子范数
算子范数 为 上的矩阵范数 且称其为算子范数。 定义向量范数 则 定理 设 并在 上 , max || || || || || || || || max || ||, 3.4.2 , , 0 | | | | 1 n n x x n n n n R A x x A x A x x R A R R = = =
算子范数 证明:由向量范数‖AxC‖的连续性知,|AXC‖ 在有界闭集xlx上一定能达到最大值 所以‖州定义了A∈R到R的一个对应法则。 所以下面只要验证范数定义的四个条件 l)‖A|=max ‖AXC‖ ≥0显然成立, 若‖A|=0,则‖Ax|=0,因为x≠0,只有可能A=0
算子范数 若 则 ，因为 只有可能 。 显然成立， 所以下面只要验证范数定义的四个条件。 所以 定义了 到 的一个对应法则。 在有界闭集 上一定能达到最大值 证明：由向量范数 的连续性知， || || 0, || || 0 0, 0 0 || || || || 1) || || max || || { 1} || || || || 0 = = = = = + A A A A A A A R R A A x x x x x x x x x n n
2) kA= max kAx k‖C‖l maX =k|‖A X X 3)由‖A|=max lAX ,则‖Ax|AA|!Cx∈R xz0 X 于是 ‖(A+B)x‖=‖Ax+Bx|‖Am‖+‖Bmx =(A+B|)‖x
(|| || || ||) || || || ( ) || || || || |||| || || |||| || || || || |||| || || || || || 3) || || max | ||| || || || | ||| || max || || || || 2) || || max 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x A B A B A B A B A A R A A k A k A k A k A n x x x = + + = + + = = = = 于是 由 ，则
算子范数 所以对x≠0有 ‖(A+B)x A+B‖ x A+B‖=max (A+B)x‖ A+‖B‖ x≠0 同理可证‖AB|S‖AB‖ 推论对R中任何矩阵算子范数,/为单位矩阵,则 I|=max‖DC=1 X|=1
算子范数 || || max || || 1 , , || || || |||| || || || || || || || || ( ) || || || max || || || || || || || ( ) || 0 1 0 = = + + + = + + = x x I x I R I AB A B A B x A B x A B A B x A B x n n x 推论 对 中任何矩阵算子范数 为单位矩阵 则 同理可证 。 即 所以对 有