南京大学：《数值计算方法》课程教学资源（PPT课件）第3章 解线性方程组的数值解法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 病态方程组与矩阵的条件数 3.6 解线性方程组的迭代法

常见的矩阵范数 定理343设矩阵A=(an)n∈R",x∈R" 则于向量范数x(p=12,∞)相容的矩阵范数是 1-范数:|4l=max∑an l≤j≤ni=1 2-范数:A2=√m(A -范数:A|2=mx∑|an

常见的矩阵范数   =      =    − = − = − = =  =   n j i j i n T n i i j j n p n n n i j n n A a A AA A a p A a R R x x 1 1 2 max 1 1 1 || || max | | 2 || || ( ) 1 || || | | ( 1,2, ) 3.4.3 ( ) , max 范数： 范数： 范数： 则于向量范数 相容的矩阵范数是 定理 设矩阵 ， 

常见的矩阵范数 F-范数:4=∑∑ 般称4为矩阵的列范数,4为矩阵的行范数, 42为矩阵的谱范数或欧几里德范数 推论设A为对称矩阵,则‖A|2=2m(4) 又若A非奇异,则A|2=2mn(A)‖

常见的矩阵范数 又若 非奇异 则 。 推论 设 为对称矩阵 则 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 一般称 为矩阵的列范数， 为矩阵的行范数， 范数： , || || || ( )|| , || || | ( )|, ( ) 1 2 min 1 2 max 2 1 2 1 1 1 2 A A A A A A A A A F A a n j n i F i j − −  = = = = − =   

对称矩阵范数 证明:由A=A知 A|2=2m(AA)=2m(42)=2m(A)2 所以有‖A|2=1m(4) 又因为A非奇异,则(4)≠0,由(A)=x(A)得 A‖2=ma(4)=m(4)

对称矩阵范数 || || || ( )|| || ( )|| ( ) 0, ( ) ( ) || || | ( )| || || ( ) ( ) | ( )| 1 min 1 2 max 1 1 -1 2 max 2 max 2 max max 2 2 A A A A A A A A A A A A A A A A T T − − − − = =  = = = = = =          又因为 非奇异，则 由 得 所以有 证明：由 知

例题 例341设矩阵/=/ ,求‖A|2(p=1,)及AF 24 解:A‖1=max(2+|-2|-11+4}=5 ‖A|=max{2+|-1,-2|+4}=6 因为AA 14-24 1017 由1-A810 0 10元-17 解得41=234662=1534,故A2=√23466=4844 A|=[2+(-1)2+(-2)2+42]2=5

例题 || || [2 ( 1) ( 2) 4 ] 5 23.466, 1.534 || || 23.466 4.844 0 10 17 8 10 | | 10 17 8 10 2 4 2 1 1 4 2 2 || || max{2 | 1|,| 2 | 4} 6 :|| || max{2 | 2 |,| 1| 4} 5 , || || ( 1,2, ) || || 2 4 2 1 3.4.1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 = + − + − + = = = = = = − − − =       − − =      − −       − − = = + − − + = = + − − + = =          − − =  F T T p F A A I A A A A A A A A p A 解得 ，故 。 由 因为 解 例 设矩阵 求 及     

343矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 定义34.5设λG=1,2,…,)为矩阵A的特 征值,则称 P(A)=max(n D l≤i<n 为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径p(A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系

3.4.3 矩阵的谱半径和矩阵序列收敛性 但可能与 的任何一种范数有某种关系。 矩阵 的谱半径 不是 的一种范数 为矩阵 的谱半径。 征值 则称 定义 设 为矩阵 的特 A A A A A A λ (i , ,...,n) A i i n i ( ) , ( ) max{| |} , 3.4.5 1 2 1      = =