向量范数性质 性质1对任意x,y∈F"有x1-pysx-y 性质2设x∈R",则向量范数‖x‖是分量 x1,x2y,x,的一致连续函数。 性质3对R中定义的任意两种范数|l,·2 则必存在两正数m,M,使得 mC|sxl≤M‖xvx∈R
向量范数性质 n n n n n m M R m M x x x R R x x x x x x x y x y x y − − || || || || || || , , 3 R || || ,|| || , , ,..., 2 , || || 1 1 2 则必存在两正数 使得 性质 对 中定义的任意两种范数 的一致连续函数。 性质 设 则向量范数 是分量 性质 对任意 ， 有
向量范数性质 等价性质: l)-‖xCl1s‖xC|2⊥xC 2)‖xC|24‖xl1≤n‖xC 3)‖x1nsx|2s√n‖XC| 例如:x=∑x圳x=max{x}≤∑x
向量范数性质 等价性质： = = = = n i i i i n n i i x x x n n n n n x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 2 1 1 1 | | || || max{| |} | | 1 || || 1 : 3) || || || || || || 2) || || || || || || || || || || || || 1 1) 例如
向量的收敛性 定义342设R中一向量序列{}(k=12,…),其中 x6)={x),x2,,x},如果存在x=(x2x2…,x)∈R"满足 mx=x(i=1,2,,n) k→o 则称向量序列{x6)依次收敛到C,记作 X=x 如果有imxC-xC"|=0 则称向量序列{x6)}依范数‖收敛到x
向量的收敛性 ( ) * * * ( ) * * * * 2 * 1 ( ) ( ) * 2 ( ) 1 ( ) ( ) { } || || lim || || 0 lim { } , lim ( 1,2,..., ) { , ,..., } , ( , ,..., ) 3.4.2 { } ( 1,2,...), x x x x x x x x x x x k k k k k k i k i k T n n k T n k k k n k x x i n x x x x x x R R k 则称向量序列 依范数 收敛到 如果有 则称向量序列 依次收敛到 记作 如果存在 满足 定义 设 中一向量序列 其中 − = = = = = = = → → →
定理341向量序列{x6)}(k=1,2,)依 坐标收敛到x的充分必要条件是{x}依范 数‖·‖收敛到x。 事实上由 im‖xb)-x‖=0< lim maxx()-x|=0 k k→>o1<in 1、(k) k→
lim ( 1,2,... ) lim || || 0 lim max 0 || || { } 3.4.1 { } ( 1,2,...) ( ) * ( ) 1 * * * ( ) ( ) x x i n x x k i k i k i k i k i n k k k k x x x x x x = = − = − = = → → → （ ） 事实上由 数 收敛到 。 坐标收敛到 的充分必要条件是 依范 定理 向量序列 依
3.42矩阵范数 定义343设任意A∈R",若按某一确定的法则对 应于一非负实数‖A|,且满足 1)非负性‖A|0,当且仅当A=O时,A|=0 2)奇次性:kA‖k‖A‖,k∈R, 3)三角不等式:A+B|sA‖+‖B|,VA,B∈R" 4)相容性:AB≤4|Bl,VA,B∈R", 则称‖A‖.R"的一种范数
3.4.2 矩阵范数 则称 为 的一种范数。 相容性： ， ， 三角不等式： 奇次性： ， 非负性 ，当且仅当 时， 应于一非负实数 且满足 定义 设任意 若按某一确定的法则对 n n n n n n n n A R AB A B A B R A B A B A B R k A k A k R A A A A A R + + = = = || || 4) , 3) || || || || || ||, , ; 2) || || | ||| || ; 1) :|| || 0 0 || || 0; || ||, : 3.4.3