7.32矩阵的QR分解 定理73.1设矩阵A∈R",且非奇异,则一定存在正交矩 阵Q,上三角矩阵R,使 A=OR (7.3.2) 且当要求R的主对角元素均为正数时,则分解式(732)是唯一的 证明存在性有矩阵A的非奇异性及 Householder变换矩 阵的性质(3)知,一定可构造n-1个H矩阵:H1,H2…Hn1使 H,AL (k=l, t 1)
7.3.2 矩阵的QR分解 定理 7.3.1 设矩阵 n n A R ，且非奇异，则一定存在正交矩 阵 Q，上三角矩阵 R，使 A = QR (7.3.2) 且当要求 R 的主对角元素均为正数时，则分解式(7.3.2)是唯一的。 证明 存在性 有矩阵 A 的非奇异性及 Householder 变换矩 阵的性质(3)知，一定可构造 n−1个 H 矩阵： 1 2 1 , , , H H Hn− 使 ( 1,2, , 1) Ak+1 = Hk Ak k = n −
其中A1=A,而 n a n) R n- n nn
其中 A1 = A，而 − − − = − − ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) 1 ( ) 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n a σ a σ a σ a a A R =
因此有 H.,H.…H,H,A=R 即有 A=OR 其中,Q=H1H2…Hn为正交矩阵
因此有 Hn−1 Hn−2 H2 H1 A = R 即有 A = QR 其中，Q = H1 H2 Hn−1 为正交矩阵
唯一性假设矩阵A有两种正交三角分解,即 A=QR=O,R2 其中,Q1,Q2为正交矩阵,R,R2为上三角矩阵,且 主对角元素均为正数。于是有 2102=rR2=D
唯一性 假设矩阵 A 有两种正交三角分解，即 A = Q1 R1 = Q2 R2 其中， 1 2 Q ,Q 为正交矩阵， 1 2 R , R 为上三角矩阵，且 主对角元素均为正数。于是有 Q Q R R D T − = = 1 1 2 1 2
这里,D必是既为正交矩阵又是上三角矩阵,故 D=dag(d1,d2,…dn) 且d2=1(=12.…,n),因此,R1=DR2,由于R,R 对角元均为正数,故 d1(;…,n),即有 D=1,R1=R2,Q1=Q2
这里，D 必是既为正交矩阵又是上三角矩阵，故 diag ( , , ) 1 2 n D = d d d 且 1( 1,2, , ) 2 di = i = n ，因此，R1 = DR2 ，由于 1 2 R , R 对 角 元 均 为 正 数 ， 故 d 1(i 1,2, ,n) i = = ，即有 1 2 1 2 D = I,R = R ,Q = Q