由公式(1.2.5)得 n2+2-1=cexp(/-2s/)=cp(-m2)=∞-2. 边到变量(5,m)即得(12.11)的通是 不边到变量(x,y),即用(1.2.10)的通是因 2 ry 6 其中c因任微等数. 即:由于本题的特殊性,首一种简许的是法:将方程(1.2.10)改如成如下 微分哪式 (ady +yd r)+[(y-3)dy-(a 1)dx]=0, 进而可如成 d(xy)+[(y-3)d(y-3)-(x+1)d(x+1)=0, 积分便立得通是.里种方法称因分组积分法,只能用于一些特殊的方程。 在、线由方任与常数变易法 当(1.1.9)中的n=1两,我们得到一阶线由微分方任的一般哪式 ao()y'+al(e)y= f(a 今后我们总假设a0(x)≠0,因因当ao(x)出现零点两,上得方程所成因微分 方程是析理论研究的对象.因此我们总是把一阶包性方程如成如下的标准哪式 (能(1.1.6)) p(a)y+ q(a) (1.212) 其中假设p(x),q(x)在所讨论的区果上因x的连要函数 当q(x)≡0两,(1212)成因(1.24) dz -p(z)y (1.2.4) 我们称(12.4)因一阶线由齐次方任,称它是对应于非齐次方程(1.212)的 齐次方程.而当q(x)≠0两称(1.212)因一阶线由非齐次方任,称q(x)因包 性方程(1212)的非齐次项 包性齐次方程(12.4)的是,我们先在上得的例1.22中讨论过,其通是因 y=cexp(/ p(a)d.c (1.2.5) 里里c因任微等数
7d (1.2.5) l u 2 + 2u − 1 = c exp µZ −2dξ/ξ¶ = c exp ¡ − ln ξ 2 ¢ = cξ−2 . hM & (ξ, η) sl (1.2.11) ' η 2 + 2ξη − ξ 2 = c, hM & (x, y), s{ (1.2.10) ' ' y 2 + 2xy − x 2 − 6y − 2x = c, XI c 't#. s \HDE;< yim> bv3 (1.2.10) ^qrqw tu6d: (xdy + ydx) + [(y − 3)dy − (x + 1)dx] = 0, +UOqr d(xy) + [(y − 3)d(y − 3) − (x + 1)d(x + 1)] = 0, @uol' . (iv`'u@u< VP{\rDEv3 B "F2#\ s m (1.1.9) I n = 1 ), |}lM"d6d a0(x)y 0 + a1(x)y = f(x). |}QR a0(x) 6= 0, ''m a0(x) Z<), flv3$r'tu v3 q9&'5. 'c|} j :;v3qrqw306d (P (1.1.6) ) dy dx = p(x)y + q(x), (1.2.12) XIQR p(x), q(x) $4]f' x no"#. mq(x) ≡ 0), (1.2.12) r' (1.2.4) dy dx = p(x)y. (1.2.4) |}` (1.2.4) '"yz, `0 \9jv3 (1.2.12) jv3. Um q(x) 6≡ 0 )` (1.2.12) ' "#yz, ` q(x) ': ;v3 (1.2.12) #yz . :;jv3 (1.2.4) , |}zfl| 1.2.2 I42, X' ' y = c exp µZ p(x)dx ¶ . (1.2.5) (( c 't#. 9
由于(1.24)是(1.212)的特殊情形,因此可以设想(1.2.12)的通解应当 是(125)的某种考虑到q(x)的推广;而这种推广(1.2.5)的一个自然的办法 就是把任意常数c变易为x的待定函数c(x),使得它满足(1.2.12),记h(x) 为对应于(1212)的齐次方程的任一非零解,现求(1.2.12)如下形式的解 y= c(a)h(a) (1.2.13) 将(1.2.13)代入(1.2.12)得 dzh(a)+c(e) dh(r) dc(a) c(a)p(r)h(a)+q(a) 根据h(x)是(1.24)的解,上式中含有c(x)的项可消去,化简为 dc(ar) q(a) dr h(r) 两边对x积分即得 c=C+ qa) h(a) (1.214) 其中C为任意常数.将(1.2.14)代入(1.2.5)即得(1.2.12)的通解: 0=Mc+/ (1.2.15) 上面这种将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数,从而求出线 性非齐次方程通解的方法,我们称为常数变易法,以后我们还将多次用到 此外不难直接验证,方程(1212)满足初始条件v(x0)=30的解为 y(r)=exp p(t)dto+/ q(t)exp (/ p(s)ds dt 例125求方程y=2xy+exp(x2)cosx的通解 解首先利用公式(1.25),求对应齐次方程y=2xy的非零解h(x) = exp (r 其次利用公式(1.215)得原方程的通解 =c(2)(C+/m)=哪(2)C+m(21 其中C为任意常数 例1.2.6求出方程 的通解 dr 解显然这个方程关于y是非线性的,且不能进行变量分离.但当y≠0 dr 时,可把它写成
\ (1.2.4) (1.2.12) DEu6, 'cOR: (1.2.12) ' m (1.2.5) (inoM q(x) p ; U(ip (1.2.5) *%gL $ jt# c m' x j6"# c(x), Ql078 (1.2.12), Y h(x) ' \(1.2.12) jv39 < <Y (1.2.12) qw6d y = c(x)h(x); (1.2.13) b (1.2.13) de (1.2.12) l dc(x) dx h(x) + c(x) dh(x) dx = c(x)p(x)h(x) + q(x). m h(x) (1.2.4) , fdI~y c(x) O:J< !m' dc(x) dx = q(x) h(x) , )h x @usl c(x) = C + Z q(x) h(x) dx, (1.2.14) XI C 't#. b (1.2.14) de (1.2.5) sl (1.2.12) ' y = h(x) · C + Z q(x) h(x) dx ¸ . (1.2.15) fl(ib:;jv3' It# m'j6"#, WUYZ: ;9jv3' v, |}`'2#\ s, |}xb?{M. cOSTM , v3 (1.2.12) 78!k y(x0) = y0 ' y(x) = exp µZ x x0 p(t)dt ¶ ·y0 + Z x x0 q(t) exp µ − Z t x0 p(s)ds ¶ dt ¸ . v 1.2.5 Yv3 y 0 = 2xy + exp(x 2 ) cos x ' . * yzY{7d (1.25), Y jv3 y 0 = 2xy 9 h(x): h(x) = exp ¡ x 2 ¢ . XY{7d (1.2.15) l+v3' y = exp ¡ x 2 ¢ µ C + Z cos xdx ¶ = exp ¡ x 2 ¢ (C + sin x), (1.2.16) XI C 't#. v 1.2.6 YZv3 dy dx = y x + y 3 ' . * `g(*v3c\ y 9:;, 0P+K &u. =m y 6= 0 ), Oj0qr dx dy = x + y 3 y , s dx dy = 1 y x + y 2 , 10
把看成未知函数,而把y看成自变量,这就是一个线性方程.直接利用公式 (1.215),取对项的齐次方程的解h()=exp(∫dy/t)=,可得原方程的通解 C 还有特解y=0 注:在求齐次方程的非零解h(x)时,有时会遇到积分如exp(adr/m) 项该取有绝对值的原函数|x,还是取不带绝对值的原函数x的问题.实际上 可以采取一个原则:当x<0时xa有意义时不加绝对值,因为这时xa仍然 是齐次方程的,而不加绝对值对于求非齐次方程的特解来说要方便一些.但当 r<0时x无意义时必须要加绝对值 最后在结束本段之前,我们还考虑一类可通过变量替换而化成线性方程进 行求解的方程,它有如下形式: d p(a)y +ql)y (1.217) 其中p(x),q(x)为x的连续函数,n≠0,1为实常数.我们称方程(1217) 为伯努利( Bernoulli)方程,也是一类常见的方程为了求解(1217),方程的 两边同除以y2,(若n>0,要求3≠0),得 p(ar)y-n+g) 可见若我们把y1=m作为一个新的未知函数,即令 (1.2.18) 于是有 (1.219) 将(1217)代入(12.19)的右边,并考虑到(1218)即得 dx=(1-n)p()u+(1-n)q(x 这是一个关于未知函数u的线性方程,由(12.15)即得它的通解,然后由 (1.2.18)回到原来变量,便得(1.2.17)的通解.此外当n>0时,(1.2.17) 还有解y=0. 例127求出方程xy+y=(xlnx)y2的通解 解易见方程有一特解为y=0.当y≠0时 于是原方程变成关于未知函数a的线性方程 dr In
j x r{"#, Uj y r% &, ($ *:;v3. STY{7d (1.2.15), jv3 h(y) = exp ¡R dy/t¢ = y, Ol+v3' qw x = y µ C + Z ydy ¶ = y µ C + 1 2 y 2 ¶ . xyD y = 0. s: Yjv39 h(x) )< y) +M@uq exp ¡R adx/x¢ wy++"# |x| a , x t++"# x aGH. EFf O+*+: m x < 0 ) x a yt)+, ''() x a kg jv3, U+\Y9jv3D ;~ovor. =m x < 0 ) x a Kt)X?o+. 8 R), |}xno O'2 &|}U!r:;v3+ KY v3, 0yqw6d dy dx = p(x)y + q(x)y n , (1.2.17) XI p(x), q(x) ' x no"#, n 6= 0, 1 'E#. |}`v3 (1.2.17) ' (Bernoulli) , e Pv3. 'MY (1.2.17), v3 )hWk y n , (@ n > 0, oY y 6= 0)), l y −n dy dx = p(x)y 1−n + q(x) OP@|}j y 1−n '*~{"#, s& u = y 1−n , (1.2.18) \ y du dx = (1 − n)y −n dy dx . (1.2.19) b (1.2.17) de (1.2.19) gh, _noM (1.2.18) sl du dx = (1 − n)p(x)u + (1 − n)q(x). ( *c\{"# u :;v3, (1.2.15) sl0' , g (1.2.18) hM+; &, ol (1.2.17) ' . cm n > 0 ), (1.2.17) xy y = 0. v 1.2.7 YZv3 xy0 + y = (x ln x)y 2 ' . * mPv3yD ' y = 0. m y 6= 0 )< & u = 1 y , y du dx = −y −2 dy dx , \ +v3 rc\{"# u :;v3 du dx = 1 x u − ln x; 11
由(1215)可得此方程作为解为 回到变量y,即得原方程作为解为 C-1n2 另一个经常遇到作方程是黎卡提( Riccati)方程 dr=pla)y+q(z)y+f(), 必中p(x),q(x),f(x)≠0都是x作考虑函数.显然若f(x)≡0,常它就是伯 努利方程.而当f(x)≠0前,一般没有初等利解作方义;但如果已知它作一个 特解y=(x),常可为过令y=u-1+y(x)而得到一个关于a作线性方程, 从而可利出它作为解.注意,这个特解一般不包含在为解中 也、全微分方程与有分因子 1.全微分方程我们考要如下微分形式作方程 M(, yd r+ N(a, y)dy=0, (1.2.20) 必中M,N为x,y作考虑可微函数.这样作形式有前吏续于寻找它作为解 当方程(1.2.20)作左端恰好是某个二元函数u(x,y)作全微分前,亦即 M(,g)dx+N(, y)dy= du(z, y) Ol ar<a (1.2.21) 就称(1.2.20)为全微分方程又称为恰当( exact)方程.若(1.220)为全微分方 程,常必为解为隐函数形式 a(, y=c 这里c为加意常数.这种形式作为解称为微分方程作积分,为解中作每个解在 T,y平面上图像也称为微分方程(1220)作积分曲线.但是这个积分曲线可能 要用若十个以x或y为自变量作显函数来些示.可是一般我们不必从隐函数 利出显式解来.例如ydx+dy=0是全微分方程,有d(xy)=0,故必为解为 xy=c.当c=0前,积分曲线就有两方,x=0和y=0.可以看成分是是以 y和x为自变量作函数 现在摆在我们面两作有也个问题 1°如何判断(1.2.20)是否为全微分方程还 2°若(1.2.20)为全微分方程,如何利出函数u(x,y)还 3°若(1.2.20)不是全微分方程,有何办义将它转变成全微分方程,并利出 必为解还
(1.2.15) Olcv3' ' u = x µ C − 1 2 ln2 x ¶ ; hM & y, sl+v3' ' xy µ C − 1 2 ln2 x ¶ = 1. J*+Mv3 (Riccati) dy dx = p(x)y + q(x)y 2 + f(x), XI p(x), q(x), f(x) 6≡ 0 x no"#. `g@ f(x) ≡ 0, 0$ Yv3. Um f(x) 6≡ 0), d*yY v; =qz{0* D y = ϕ(x), O'2& y = u −1 + ϕ(x) UlM*c\ u :;v3, WUOYZ0' . st< (*D d:~' I. eB Fy[ 1. |}noqwtu6dv3 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1.2.20) XI M, N ' x, y noOt"#. (X6dy)/o\KL0' . mv3 (1.2.20) b= (*g"# u(x, y) Ltu), ^s M(x, y)dx + N(x, y)dy ≡ du(x, y) = ∂u ∂xdx + ∂u ∂y dy, (1.2.21) $` (1.2.20) '-`'l (exact). @ (1.2.20) 'Ltuv 3, X' ',"#6d u(x, y) = c. (( c 't#. (i6d' `'tuv3@u, ' I=* x, y \lf {e`'tuv3 (1.2.20) @uS:. = (*@uS:OP o{@K* x i y '% &`"#;r . O d|}XW,"# YZ`d ;. |q ydx + xdy = 0 Ltuv3, y d(xy) = 0, X' ' xy = c. m c = 0 ), @uS:$y), x = 0 y = 0. O ru y x '% &"#. <P|}l)ye*GH 1 ◦ qa (1.2.20) y'Ltuv3x 2 ◦ @ (1.2.20) 'Ltuv3, qYZ"# u(x, y)x 3 ◦ @ (1.2.20) Ltuv3, yLb0 rLtuv3, _YZ X' x 12
对于问题1°,我们有:(1.220)为全微分方程的充要条积是 aM(a, y) aN(a, y) 实际上,若(1.220)为全微分方程,常线在函数(x,y)使得(1.2.21)成立 M,=N,从而由M,N作考虑可微来即得My=x 这说明(1.2.22)是(1.2.20)为全微分方程作必要条仍 反之,我们对a=M两边关于x积分(y作为参数)得a(x,y)如下 u(, y)=/M(, y)dz +p(y) (1.2.23) 必中φp(y)为一个待定作y作可微函数.为确定它,把(1.2.23)两边对y利偏 数,并利用=N,得p(D)厘满足作方程 0u0 y) ay ay N(,y) dy 亦即要利φ(y)满足 doly) 0 M(z, ydc (1.2.24) 显然只要上式右端与x无关,将必对y积分一次即得φ(y),代入(1.2.23)就 找到必全微分为(1.2.20)左端作u(x,y).取实上,由于M(x,y)考虑可微,因 此根据条仍(1.222)我们有 aN(, y) a az Ldy/M(a,y)dz) ON(x,y)o「o M(, y) x aN(, y aM(a, y) 从而将(1.2.24)两边对y积分得出φ(不意加意积分常数)项代入(1.2.23) 就得到(1.220)作通解 (a, y)dr +p(=c (1.2.25) 这不仅回答了问题29,而且外出了条仍(1.2.22)作充分来证明 完全类似地通解也可以表示为 u(, y)=/N(, y)dy+v(ar)=c (1.2.26)
\GH1 ◦ , |}y (1.2.20) ` |@ ∂M(x, y) ∂y = ∂N(x, y) ∂x . (1.2.22) EFf, @ (1.2.20) 'Ltuv3, :"# u(x, y) Ql (1.2.21) r, ^sy ∂u ∂x = M, ∂u ∂y = N, WU M, N noOt;sl My = uxy = Nx, (~ (1.2.22) (1.2.20) 'Ltuv3Xok. 2R, |} ∂u ∂x = M )hc\ x @u (y 'F#> l u(x, y) qw u(x, y) = Z M(x, y)dx + ϕ(y), (1.2.23) XI ϕ(y) '*j6 y Ot"#. 'N60< j (1.2.23) )h y Y/ s#< _Y{ ∂u ∂y = N< l ϕ(y) 78v3 ∂u ∂y = ∂ ∂y Z M(x, y)dx + dϕ(y) dy = N(x, y), ^soY ϕ(y) 78 dϕ(y) dy = N(x, y) − ∂ ∂y Z M(x, y)dx. (1.2.24) `gVofdgN x Kc, bX y @usl ϕ(y), de (1.2.23) $ LMXLtu' (1.2.20) u(x, y). Ef, \ M(x, y) noOt, ' cmk (1.2.22) |}y ∂ ∂x · N(x, y) − ∂ ∂y Z M(x, y)dx ¸ = ∂N(x, y) ∂x − ∂ ∂x · ∂ ∂y Z M(x, y)dx ¸ = ∂N(x, y) ∂x − ∂ ∂y · ∂ ∂x Z M(x, y)dx ¸ = ∂N(x, y) ∂x − ∂M(x, y) ∂y ≡ 0. WUb (1.2.24) )h y @ulZ ϕ (tt@u#) de (1.2.23) $lM (1.2.20) ' u(x, y) = Z M(x, y)dx + ϕ(y) = c (1.2.25) (Ch MGH 2 ◦ , U0ZMk (1.2.22) u; . L 91' eOr ' u(x, y) = Z N(x, y)dy + ψ(x) = c (1.2.26) 13