812初等解法 本节将介绍如何将某些几阶方含的解用初等线数或用初等线数的积分来表 示,这种解法称为初等解法.虽然这些方含的类型很有限,但对于实际问题中 出现的常微分方含却经常用验,因此掌握这些类型方含的解法还、有重要的实 价值的 几、分离变量法 1.变量分离方程我们称何写成形如 a2=f(x)9(y) (1.21 的几阶方含为变量分离方程,滑中∫(x)书9(9)分别为x,y的连续线数.例如 方含y=y2cosx,y=er+y,y= 都、变量分二方含 为了刚解(1.2.1),首先假设g(y)≠0,于、(1.2.1)何写成 9(0=f(x)dr, 这时,在方含中每几解项斜含有几解变量,这解不含称为变量“分二”.两边积 分即得隐式通解 g(y) =f(r)dr+c, (1.22) 这里及以后除非特殊情况我们把不定积分∫书Jfdx分别理解为 y书的几解(不带任意常数的)原线数.域们不几定、初等线数,族c、使 得(1.2)有意义的任意常数,例如方含=出工,经分二变量后积分何得 x2=2/sA+c;虽然右端不意用初等线数表示,但我们认为通解已经刚 出通如方含=—,这时(22)为y2=-x2+c,显然这时c斜意取非 负的任意实数.总曲,(1.22)就、(1.2.1)的通解 滑次,如果存在0使得g(3)=0,则经曲接验证即知y=30也、(1.2.1) 的解.这时如果在通解(122)中存在常数c=c0使得域包含了解y=90 则通解(1.2.2)就包含了(1.2.1)的几切解,积则(1.2.1)的解除了通解(1.22) 外,还应加上解v=30 例12.1刚解方含 osx,并刚满足初始条件y(0)=1的解 解显然y=0、几解解,当y≠0时,何分二变量得 dy 2= os dx,(设y≠0)
§1.2 %&W' bqb(r v3 {"#i{"#@u;r , (i `' . fg(rv3 <yo, =\EFGHI Z<tuv3J{M, 'cpq(r v3 x y?oE FB+. B r\]s 1. \]r |}`Oqr6q dy dx = f(x)g(y) (1.2.1) v3'\]r, XIf(x) g(y)u ' x, y no"#. |q v3 y 0 = y 2 cos x, y 0 = ex+y , y 0 = p 1 + y 2 √ 1 − x 2 &uv3. 'MY (1.2.1), yzQR g(y) 6= 0, \ (1.2.1) Oqr dy g(y) = f(x)dx, ()< v3I=* V~y* &< (*23`' &“u”. )h@ usl,d' Z dy g(y) = Z f(x)dx + c, (1.2.2) (( k9DEuv|}j6@u Z dy g(y) R f(x)dx u 9 ' y x *(tt#)+"#. 0}6 "#, U c Q l (1.2.2) ytt#. |qv3 dy dx = sin x xy , u & @uOl y 2 = 2 Z sin x x dx + c; fggP{"#r , =|}u'' zY Z. -qv3 dy dx = − x y , () (1.2.2) ' y 2 = −x 2 + c, `g() c VP9 ZtE#. R, (1.2.2) $ (1.2.1) ' . X, q: y0 Ql g(y0) = 0, STM s{ y = y0 e (1.2.1) . ()q' (1.2.2) I:# c = c0 Ql0:~M y = y0, ' (1.2.2) $:~M (1.2.1) E , y (1.2.1) kM' (1.2.2) , x f y = y0. v 1.2.1 Y v3 dy dx = y 2 cos x, _Y78!k y(0) = 1 . * `g y = 0 * < m y 6= 0 ), Ou &l dy y 2 = cos xdx, (Ry 6= 0) 4
两边积分即得 sin +c y 因此通解为 y sIn tc 这里c为任意常数,但是无论c取怎样的常数值,都不会是解y=0,因而原 方程的一切解应由上述通解和特解y=0组成 为了求出初值问题的解,首先看出解y=0显然不满足初始条件,因此只 能在通解中去找为此在(1.23)中令x=0,y=1即得c=-1,于是所求初 值问题的解为y 1-sin z 例1.2.2求线性齐次方程 d= p(a)y (1.2.4) 的通解,其中p(x)为x的连续函数 解显然y=0是(1.2.4)的解.若y≠0.,方程两边乘以y-1,得 y dy= p(r)de, 两边积分得到隐式通解 In(y/c)=/p(r)dr, 其中c为非零的任意实常数,等式右边表示p(x)的任一个原函数.由对数性 质可化为显式通解 y=cexp p(a)d (1.2.5) 里及以后常用exp(t)来表示指数函数e.如果允许(1.2.5)中 (1.25)包含了特解y=0,因此(1.25)可以表示(12.4)的一切解,只要认为 其中c为任意实常数 对于微分形式的变量分离方程: f(a)g(y)dr +h(y)k(a)dy=0, 其中f(x),9(y),h(y),k(x)都是已知函数.k(x)9(y)≠0时,我们可以将方程 两边同除以k(x)9(y)来分离变量,得 f(a)dr h(y)dy k(x)9()0 两边积分得通解: f(er) h(y)dy k( g(y)
)h@usl − 1 y = sin x + c. 'c' ' y = − 1 sin x + c . (1.2.3) (( c 't#, = K c wX#+, y = 0, 'U+ v3E f8' D y = 0 r. 'MYZ+GH , yz Z y = 0 `g78!k, 'cV P' IJL. 'c (1.2.3) I& x = 0, y = 1 sl c = −1, \ $Y +GH ' y = 1 1 − sin x . v 1.2.2 Y:;jv3 dy dx = p(x)y (1.2.4) ' , XI p(x) ' x no"#. * `g y = 0 (1.2.4) . @ y 6= 0, v3)h$ y −1 , l y −1dy = p(x)dx, )h@ulM,d' ln(y/c) = Z p(x)dx, XI c '9tE#, dghr p(x) *+"#. #; CO!'`d' y = c exp µZ p(x)dx ¶ . (1.2.5) (( { exp(t) ;r *#"# e t . q> (1.2.5) I c = 0< (1.2.5) :~MD y = 0, 'c (1.2.5) Or (1.2.4) E , Vou' XI c 'tE#. \tu6d &uv3: f(x)g(y)dx + h(y)k(x)dy = 0, XI f(x), g(y), h(y), k(x) z{"#. k(x)g(y) 6= 0 )< |}Obv3 )hWk k(x)g(y) ;u &< l f(x)dx k(x) + h(y)dy g(y) = 0. )h@ul' : Z f(x)dx k(x) + Z h(y)dy g(y) = c. 5
若首xo或3,使k(xo)=0或9(30)=0,常方程还首特是x=xo,或y=3o. 在微分形式的微分方程中没首规定哪一个是自变量,哪一个是未用函数 因此微分形式的方程的积分曲线是x,y平面上的曲线,它可能不是一个函数 的图像,如上题中的特是x=x0所不是一个都x因自变量的函数,而是一个 都y因自变量的函数.如变量分离方程 两边积分后得到的隐式是是x2+y2=c2>0,它的图像是半径因c>0,圆不在 原点的圆它要用两个显式许值函数来表示:y=±(c2-x2)1/2,x∈[-c,d 2.可化为变量分离的方任 1°我们称可如成形如 dr (1.2.6) 的方程因齐次方任因g因x,y的零次齐次函数而得名,里个齐次方程的对念 与前面线性齐次方程的对念不同,请不要混淆,齐次函数的定义及性质能习题 其中g(u)因a的连要函数.例如方程y=y/x+(y/x)2,y= +y2)dx+(xy-y2)dy=0离是齐次方程最后一个方程当y(y-x)≠0 两与方程,y=(x2+y2)/(y2-xy)是则价的 求是齐次方程的关键是对未用函数值无变量替换,亦即把函数∫的变量 x用一个新的未用函数u式替,所可将(126)化成变量分离方程.于是 (1.27) 设u因x的函数,于是 dy d dr dr (1.26)中然边的v/用式替后不式入(128)的左边即得 g(u)=u+r dr 里是一个变量分离方程,当g(u)-u≠0两,首为是 In(cr), 不量a=y/x可得原方程(12.6)的为是.里两若存在0使得9(u0)-0=0 常还首特是,y=0xx≠0 例1.2.3求是方程
@y x0 i y0, Q k(x0) = 0 i g(y0) = 0, v3xyD x = x0, i y = y0. tu6dtuv3I*y66* % &< 6* {"#. 'ctu6dv3@uS: x, y \lfS:< 0OP "# {. qfHID x = x0 $ * x '% &"#, U * y '% &"#. q &uv3 2xdx + 2ydy = 0 )h@u lM,d x 2+y 2 = c 2 > 0, 0 { qL' c > 0, [ +[. 0o{)*`d>+"#;r y = ±(c 2−x 2 ) 1/2 , x ∈ [−c, c]. 2. xa\]r` 1 ◦ |}`Oqr6q dy dx = g ³y x ´ (1.2.6) v3'yz(' g ' x, y j"#Uli, (*jv3 N)l:;jv3W, 1o-, j"#6 ;CPH ). XI g(u) ' u no"#. |qv3 y 0 = y/x + (y/x) 2 , y 0 = 2xy x 2 − y 2 , (x 2 + y 2 )dx + (xy − y 2 )dy = 0 jv3. *v3m y(y − x) 6= 0 )Nv3, y 0 = (x 2 + y 2 )/(y 2 − xy) B. Y jv3c{ {"#+K &|}, ^sj"# f & y/x {*~{"# u d|, $Ob (1.2.6) !r &uv3. \ y = xu, (1.2.7) R u ' x "#, \ dy dx = u + x du dx ; (1.2.8) b (1.2.6) Igh y/x { u d| de (1.2.8) hsl g(u) = u + x du dx ; cpZ du dx = g(u) − u x . ( * &uv3, m g(u) − u 6= 0 )< y' Z du g(u) − u = ln(cx), & u = y/x Ol+v3 (1.2.6) ' . ()@: u0 Ql g(u0)−u0 = 0, xyD , y = u0x x 6= 0. v 1.2.3 Y v3 dy dx = y x + tan y x . 6
解令y=xu,将此及y=+x′代入原方程得 u+ ta u+a 亦即 ru= tan a 当tanu≠0时,可化为关于未知函数siny的线性齐次方程 d sin u 1 由公式(1.25)得 sin u cexp 其中c为任意常数.把t=y/x代入得原方程的通解sin(y/x)=cr,还有特 解y=k丌,k∈Z,x≠0,是由tana=0得到 20如下线性分式方程 a12+b3y+a,吗2+B≠0, +by+C2 (1.2.9) 也可以利用变量替换化成变量分离方程,其中a1,a2,b1,b2,C1,C2均为常数 (i)当e1=e2=0时,将(1.29)右端的分子分母同除以x,即得(1.26) 形式的方程 (i)当a1=a2k,b=b2k时,则(1.2.9)可写成 dy k(a2: z +b29)+ f(a2.+b29); dr 于是令=a2x+b2y之后,原方程(1.2.9)成为 dy + dz=a2 +b2f(u) 在本书中,采用记号“=”和“=”,它们的含义是定义:A:=B表示“定义 然这是一个变量分离方程. 记号A为表达式B”.也可写成B=:A. (ii)当不是上述两种情形时,线性代数方程组 +b1y+c1=0, y tC2 存在唯一解x=a,y=.于是令 y=7+B ly dn a15+ bin d5a25+b27
& y = xu, bc y 0 = u + xu0 de+v3l u + tan u = u + xu0 , ^s xu0 = tan u. m tan u 6= 0 ), O!'c\{"# sin y :;jv3 d sin u dx = 1 x sin u, 7d (1.2.5) l sin u = c exp µZ dx x ¶ = cx. XI c 't#. j u = y/x del+v3' sin(y/x) = cx, xyD y = kπx, k ∈ Z, x 6= 0, tan u = 0 lM. 2 ◦ qw" dy dx = a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 , a2 2 + b 2 2 6= 0, (1.2.9) eOY{ &|}!r &uv3, XI a1, a2, b1, b2, c1, c2 ]'#. (i) m c1 = c2 = 0 ), b (1.2.9) gu}uWk x, sl (1.2.6) 6dv3. (ii) m a1 = a2k, b1 = b2k ), (1.2.9) Oqr dy dx = k(a2x + b2y) + c1 a2x + b2y + c2 =: f(a2x + b2y); \ & u = a2x + b2y R , +v3 (1.2.9) r' du dx = a2 + b2 dy dx = a2 + b2f(u), `g( * &uv3. I, +{Y- “:=” “=:”, 0}~ 6: A := B r “6 Y- A 'r>d B”. eOqr B =: A. (iii) m f8)iu6), :;d#v3 ½ a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 : x = α, y = β. \ & x = ξ + α, y = η + β, v3 (1.2.9) r' dy dx = dη dξ = a1ξ + b1η a2ξ + b2η , 7
这就是情况(i 此外,不难证明上述解题方法也适用于比(1.2.9)更一般的如下方程 +by+Cl +by+c2 3°其他情形下列方程的求解留给读者作为练习 f(ax+by+c),令 +by+c yf(ry)dz+ag(y)dy=0, u=ry dy d2=f(xy),令= d saf(y 令u=y/ M(, y(adr +ydy)+ N(a, y)(ady-yd r)=0, 其中M,N为x,y的次数可以不同的齐次函数,利用极坐标变换x=rcos6, y=rsinθ之后进行变量分离求解 例1.2.4求解方程 dy -y+1 dr a+y-3 (1.2.10) 解首先求出线性代数方程组 x-y+1=0, 的解x=1,y=2.然后令x=5+1,y=m+2;将此代入(12.10)得齐次方 dn5-m1-m/5 d5+n1+m/5 (1.2.11) 再令=5u,则(1.2.11)化成 1 1+a 进一步化为 +2 (1+u)5 凑微分得未知函数(2+2u-1)的线性齐次方程 心∴
($ uv (i). c, O f8 Hve{\ (1.2.9) /dqwv3 dy dx = f µ a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 ¶ . 3 ◦ w!v3Y ' dy dx = f(ax + by + c), & u = ax + by + c; yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0, & u = xy; x 2 dy dx = f(xy), & u = xy; dy dx = xf ³ y x 2 ´ , & u = y/x2 ; M(x, y)(xdx + ydy) + N(x, y)(xdy − ydx) = 0, XI M, N ' x, y #OWj"#, Y{23 } x = r cos θ, y = r sin θ R +K &uY . v 1.2.4 Y v3 dy dx = x − y + 1 x + y − 3 . (1.2.10) * yzYZ:;d#v3 ½ x − y + 1 = 0, x + y − 3 = 0 x = 1, y = 2. g & x = ξ + 1, y = η + 2; bcde (1.2.10) ljv 3 dη dξ = ξ − η ξ + η = 1 − η/ξ 1 + η/ξ . (1.2.11) & η = ξu, (1.2.11) !r u + ξ du dξ = 1 − u 1 + u +t!' du dξ = − u 2 + 2u − 1 (1 + u)ξ ; "tul{"# (u 2 + 2u − 1) :;jv3 d(u 2 + 2u − 1) dξ = −2 u 2 + 2u − 1 ξ , 8