其中v(x)由=M在可相差一个任意积分常数的情况下确定 例128求出方程(3x2y+8xy2)d+(x3+8x2y+12y2)dy=0的通 解法一这时M=3x2y+8xy2,N=x3+8x2y+12xy2,由于 aM ON x2+1y=a2,即满足条件(1.2.2),于是由(1.2.26)可得通解 u(a,y)=/N(, y)dy=xy+4x2y2+4y+v(a) 为确定v(x),将上式两边对x求偏导,并利用=M,可见可取v(x)=0 所以通解是x3y+4x2y2+4y=c 解法二将原方程分组为 则很容易就凑成微分 0 于是可立得积分 x3y+4x2y2+4y3=c 这种分项组合法在求全微分方程的解时往往比较简便,甚至还可以用来求不 是全微分的一阶方程的解.以下我们会多次使用分项组合法来求解一阶微分方 2.积分因子为了回答上面的问题3°,我们需要介绍一下积分因子的概 念.假设(1.220)不是全微分方程,如果存在连续可微函数p=1(x,y)≠0, 使得 u(a, y)M(a, y)dx +u(, yN(a, y)dy=0 (1.2.27) 为全微分方程,亦即存在函数u=u(x,y)使得 du(a, y)=u(a, y)M(, ydx +u(a, y)N(, y)dy, 则称p(x,y)为方程(1220)的积分因子.这时a(x,y)=c为(1.227)的通 解,也是方程(12.20)的通解.注意,有时使积分因子的值为无穷大的函数也 能是方程的特解(这时原方程乘以这积分因子相当于原微分方程两边同除以 零而失去一个解)这个特解不一定包含在通解中 例如对于方程rdx+ydy+(x2+y2)xd=0,若两边同乘p(x,y)= +rdr= 0 从而 d(aln(x2+y2)+4(3x2)=0
XI ψ(x) ∂u ∂x = M O, *t@u#uvwN6. v 1.2.8 YZv3 (3x 2y + 8xy2 )dx + (x 3 + 8x 2y + 12y 2 )dy = 0 ' . *s () M = 3x 2y + 8xy2 , N = x 3 + 8x 2y + 12y 2 , \ ∂M ∂y = 3x 2 + 16xy = ∂N ∂x , s78k (1.2.22), \ (1.2.26) Ol' u(x, y) = Z N(x, y)dy = x 3 y + 4x 2 y 2 + 4y 3 + ψ(x). 'N6 ψ(x), bfd)h x Y/s, _Y{ ∂u ∂x = M, OPO ψ(x) = 0 $' x 3y + 4x 2y 2 + 4y = c. *s b+v3u' £ (3x 2 y + 8xy2 )dx + (x 3 + 8x 2 y)dy ¤ + 12y 2dy = 0, <lm$"rtu d(x 3 y + 4x 2 y 2 ) + 4d(y 3 ) = 0. \ Ol@u. x 3 y + 4x 2 y 2 + 4y 3 = c. (iu YLtuv3 )jjwmo< #ixO{;Y Ltu v3 . w|} ?Q{u ;Y tuv 3. 2. y[ 'Mh flGH 3 ◦ , |}Now@u'} . QR (1.2.20) Ltuv3, q:noOt"# µ = µ(x, y) 6= 0, Ql µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy = 0 (1.2.27) 'Ltuv3, ^s:"# u = u(x, y) Ql du(x, y) = µ(x, y)M(x, y)dx + µ(x, y)N(x, y)dy, ` µ(x, y) 'v3 (1.2.20) y[. () u(x, y) = c ' (1.2.27) ' , e v3 (1.2.20) ' . st, y)Q@u'}+'Ko#"#e OP v3D (()+v3$(@u'},m\+tuv3)hWk U#J* )(*D 6:~' I. |q\v3 xdx + ydy + (x 2 + y 2 )xdx = 0, @)hW$ µ(x, y) = 1/(x 2 + y 2 ), sl xdx + ydy x 2 + y 2 + xdx = 0, WU d(1 2 ln(x 2 + y 2 )) + d(1 2 x 2 ) = 0, 14
由此即知原方程的通解为x2+ln(x2+y2)=c. 根据条件(1222),函数p(x,y)为(1.2.20)积分因子的充虑条件是 M auN) 亦即p=p(x,y)证满足各下的外阶包括偏微分方程 N(G,02-M(032=(0(0)-2NC01.(122 在外般情况下,虑线求用解(1.2.28)来求出p,从而面到(1.220)的通解, 将在求解(1220)本题更可.但是在外些特实情况下,还是不可求出(1.2.28) 的外指特解 1各间存在只与x有关的积分因子H=(x),常有a=0,平是 (.28)成为N(,ya=M(x,y)-N2(x,y),亦即 du My(a, y)-N2(a y (1.229) 由此即见,为了使面方程(1.2.20)存在只与x有关的积分因子=p(x)当 域仅当(1.2.29)右端dx的系数仅与x有关,即 M y(x). (1.2.30) 各间里指条件成点,即面(1.2.20)的外指只与x有关的积分因子 H(x)=exp(/≠(x)d (1.231) 2°同理,为使(1.2.20)存在只与y有关的积分因子H=p(y)当域仅当 些达式 仅与y有关.(导意到上些达式与(1230)的对称括可有助平记忆)各间里指 条件成点,即面p4(y)=exp(y()dy) 类似地,容易直接从(1.2.28)推出,为使(1.2.20)存在只与x2+y2有关 的积分因子p=1(x2+y2)当域仅当 yM-xN只与x2+y2有关 可以应明,只虑方程(1.2.20)有解,就其定存在积分因子(x,y),和相证的 分u(x,y)=c,而域对平加何外指不常平的的连续函数F(u),p(x,y)F(u(x,y) 也是积分因子.对证的积分为∫F(u)du=c.例各方程vdx-rdy=0.有 积分因子p=x-2,面到积分(x,y)=-x-1y=c平是p(x)(-x-2) y-2,p(x)(-a)-1=(xy)-1p(x)(1±2)-1=(x2±y2)-1常二是积分
cs{+v3' ' x 2 + ln(x 2 + y 2 ) = c. mk (1.2.22), "# µ(x, y) ' (1.2.20) @u'} ok ∂(µM) ∂y = ∂(µN) ∂x , ^s µ = µ(x, y) 78qw :;/tuv3 N(x, y) ∂µ ∂x − M(x, y) ∂µ ∂y = · ∂M(x, y) ∂y − ∂N(x, y) ∂x ¸ µ. (1.2.28) duvw, o:Y{ (1.2.28) ;YZ µ, WUlM (1.2.20) ' , bY (1.2.20) %/O. = rDEuvw, x OYZ (1.2.28) *D . 1 ◦ q:VN x yc@u'} µ = µ(x), y ∂µ ∂y = 0, \ (1.2.28) r' N(x, y) dµ dx = [My(x, y) − Nx(x, y)]µ, ^s dµ µ = My(x, y) − Nx(x, y) N(x, y) dx. (1.2.29) csP, 'MQlv3 (1.2.20) :VN x yc@u'} µ = µ(x) m 0Cm (1.2.29) g dx /#CN x yc, s My − Nx N =: ϕ(x). (1.2.30) q(*kr, sl (1.2.20) *VN x yc@u'} µ(x) = exp µZ ϕ(x)dx ¶ . (1.2.31) 2 ◦ W9, 'Q (1.2.20) :VN y yc@u'} µ = µ(y) m0Cm r>d Nx − My M =: ϕ(y) CN y yc. (stMfr>dN (1.2.30) `;OyZ\YE) q(* kr, sl µ(y) = exp ¡R ϕ(y)dy ¢ . 91, lmSTW (1.2.28) pZ, 'Q (1.2.20) :VN x 2 + y 2 yc @u'} µ = µ(x 2 + y 2 ) m0Cm My − Nx yM − xN VN x 2 + y 2 yc. O , Vov3 (1.2.20) y , $X6:@u'} µ(x, y), , @u u(x, y) = c, U0\*\no"# F(u)< µ(x, y)F(u(x, y)) e @u'}. @u' R F(u)du = c. |qv3 ydx − xdy = 0, y @u'} µ = x −2 , lM@u u(x, y) = −x −1y = c \ µ(x)(−u −2 ) = y −2 , µ(x)(−u) −1 = (xy) −1 µ(x)(1 ± u 2 ) −1 = (x 2 ± y 2 ) −1 @u 15
因子,从而可二分解利出积分,x/y=c,mn/yl=c, arctan(x/y) 方129利解方程(x4+y4)dx-xy3dy=0. 个即立称然有M=x4+y2,N=-xy3;由此算出My-N2=4y32+y3 5y3 Nx)/N=-5/x,导(1.2.30)成立,故由(1.2.31)得 u(a)=exp 将此积分因子乘值方程两边得全微分方程(x-1+x-5y4)dx-x-4y3dy=0, 于是由(12.25)导得通解ln(cr)-y4x-4/4=0,注意使积分因子为无穷失时 的x=0也是解,它不包含比通解中 个即以x≠0时,用分项介合解法:方程可恒等变形为 x4dx+y3(ydx-rdy)=x4dx-x2y3a(y/x)=x4dx-x5(y/x)3d(y/x)=0 可见可取x-5为积分因子.积分所得通舾 个即三因方程是一个齐次方程,虽然可二按齐次方程(1.2.6)的方法做, 但是也可用积分因子法.可二证明,若M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是一个齐 次方程,简p:=(xM(x,y)+yN(x,y)-1≠0时,常p是一个积分因子.若 μ≡c≠0,常这个齐次方程是个全微分方程 方12.10利解方程vdx+(y-x)dy=0. 个即立由于M=3,N=y-2,故有M-Mx=2,从=N2 只需y有关,于是积分因子()=exp(-2/y-1dy)=y-2;将此乘 y 1 r 值方程两边得全微分方程-dx+ )dy=0,于是由(1.2.26)得通解 y+ln()=0.注意使积分因子为无穷失时的y=0也是解,它不包含比通 解中 个即以分项介合解法:y≠0时将方程分介为(yda-rdy)+ydy=0,进 而写成 +ydy=0, 从而易得积分因子:积分 个即三因方程是一个齐次方程,(xM+yN)-1=y-2是积分因子,从而 易得积分 下是一个积分因子不只是依赖于一个变量的例子,用分项介合法较当单 方1211利解方程y′=-x/y+√1+(x/y)2,(y>0) 个将方程亦写成 或者 x2+y2)=√x2+y2d
'}, WUOu YZ@u, x/y = c, ln |x/y| = c, arctan(x/y) = c, ln |(x − y)/(x + y)| = c. v 1.2.9 Y v3 (x 4 + y 4 )dx − xy3dy = 0. *s `gy M = x 4+y 4 , N = −xy3 ;cPZ My−Nx = 4y 3+y 3 = 5y 3 ,(My − Nx)/N = −5/x, s (1.2.30) r, (1.2.31) l µ(x) = exp µ − Z 5x −1dx ¶ = x −5 , bc@u'}$+v3)hlLtuv3 (x −1 + x −5y 4 )dx − x −4y 3dy = 0, \ (1.2.25) sl' ln(cx) − y 4x −4 /4 = 0, stQ@u'}'Ko#) x = 0 e , 0:~' I. *s x 6= 0 ), {u : v3O 6' x 4dx + y 3 (ydx − xdy) = x 4dx − x 2 y 3d(y/x) = x 4dx − x 5 (y/x) 3d(y/x) = 0. OPO x −5 '@u'}. @u$l' . *sd 'v3 *jv3, fgOjv3 (1.2.6) v5, = eO{@u'}. O , @ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 *j v3, m µ := (xM(x, y) + yN(x, y))−1 6= 0 ), µ *@u'}. @ µ ≡ c 6= 0, (*jv3 *Ltuv3. v 1.2.10 Y v3 ydx + (y − x)dy = 0. *s \ M = y, N = y − x, y My − Nx = 2, WU My − Nx −M = − 2 y VN y yc, \ @u'} µ(y) = exp(−2 Z y −1dy) = y −2 ; bc$ +v3)hlLtuv3 1 y dx + (1 y − x y 2 )dy = 0, \ (1.2.26) l' x y + ln(cy) = 0. stQ@u'}'Ko#) y = 0 e , 0:~' I. *s u : y 6= 0 ),bv3u' (ydx − xdy) + ydy = 0, + Uqr y 2d µ x y ¶ + ydy = 0, WUml@u'} @u. *sd 'v3 *jv3, (xM + yN) −1 = y −2 @u'}, WU ml@u. w *@u'}V ^\* &|}, {u wm>. v 1.2.11 Y v3 y 0 = −x/y + p 1 + (x/y) 2, (y > 0). * bv3^qr xdx + ydy = p x 2 + y 2dx, i 1 2 d(x 2 + y 2 ) = p x 2 + y 2dx; 16
由此注能,这个方程有积分为子p 此乘方程时边容 时边积分可容通是√x2+y2=x+c,不时边平方化简因y2=c(c+2x)组 后容显式是y=(c(c+2x) 四、隐方任的为甚形式解 前面介绍零一阶方程,二解可以表示成标准形式方程y′=f(x,y)零一成 方程.但解若从一般形式零隐方程F(x,y,y)=0无法将y是出,或者注使 是出,其表达式也非常时杂两,那么上足那成方法,就不见应用,例写 Lagrange 方程 a(y)y+b(y)a= c(y), 就解这至分形,其中a、b、c,二解变量零连要可意函数.因了求是这类方程, 例子要引也参数t,使容隐方程F(x,y,y)=0见用参数表示成以下时至则价 形式之一 y=p(t), y=f(r, p(t)), (1.2.32a,b) y=p(t), x=f(y, p(t)) (1.2.33a,b) 其中p(t)解t零已用可意函数 对于形式(1.2.32),要消去变量y,边立变量x和t之间零此系式,可以将 (1.232b)零时边求意分,容 dy=f(a, p)dr+ fp(a, p)p'(t)dt, (1.2.34) 又由(1232a)容 dy= p(t)dt (1.2.35) 由(1.234)和(1.2.35)消去dy容x,t零方程 fr(a, p)dr+Up(a, p)p(t)-p(t)]dt=0 求是此方程,令其通是和特是分别因Φ(x,t,c)=0和亚(x,t)=0,等进方 程零以t因参数零通是因 Φ(x,t,c)=0 y=f(, p(t)); 特是因 业(x,t)=0, y=f(e, p(t) 例1212求方程y=2-xy+x2/2零是
csP, (*v3y@u'} µ = 1 p x 2 + y 2 , c$v3)hl d(x 2 + y 2 ) 2 p x 2 + y 2 = dx, )h@uOl' p x 2 + y 2 = x + c, )h\v!m' y 2 = c(c + 2x). l`d y = (c(c + 2x))1/2 . kB &`'# * )l v3, Or r306dv3 y 0 = f(x, y) r v3. = @Wd6d,v3 F(x, y, y0 ) = 0 Kb y 0 Z, i sQ Z, Xr>de9)*), 1cf81rv, $P {, |q Lagrange v3 a(y 0 )y + b(y 0 )x = c(y 0 ), $ (iu6, XI aB bB c, &noOt"#. 'MY ( v3, |}o?eF# t, Ql,v3 F(x, y, y0 ) = 0 P{F#r rw)iB 6dR y 0 = p(t), y = f(x, p(t)), (1.2.32a, b) y 0 = p(t), x = f(y, p(t)). (1.2.33a, b) XI p(t) t z{Ot"#. \6d (1.2.32), o:J & y, h & x t Rc/d< Ob (1.2.32b) )hYtu< l dy = fx(x, p)dx + fp(x, p)p 0 (t)dt, (1.2.34) - (1.2.32a) l dy = p(t)dt, (1.2.35) (1.2.34) (1.2.35):J dy l x, t v3: fx(x, p)dx + [fp(x, p)p 0 (t) − p(t)]dt = 0. Y cv3, &X' D u ' Φ(x, t, c) = 0 Ψ(x, t) = 0, +v 3 t 'F#' ' ½ Φ(x, t, c) = 0, y = f(x, p(t)); D ' ½ Ψ(x, t) = 0, y = f(x, p(t)). v 1.2.12 Yv3 y = y 02 − xy0 + x 2/2 . 17
解将原方程化为等价形式:y=t,y=t2-xt+x2/2,对第二式求微分 并利用dy=tda得 dy= 2tdt-tdr -- tdc +ard r= td.c 整理得 (2t-x)(dt-dx)=0. 由此即得t-x=c和2t-x=0这里c为任意常数.把这两个式子分别与 y=t2-rt+x2/2联立,即得参数形式的通解 t+x2/2 和参数形式的特解 t2-xt+x2/2 消去参数t分别得原方程的显式通解y=2+a+2以及显式特解y=2/ 例12.13求出克莱罗( Clairaut)方程 的解.其中f()是其变元的已知的连续可微函数 解将原方程化为等价形式:y=t,y=xt+f(t);对第二式求微分并 利用dy=tdx得tdx+rdt+f(t)dt=td整理得 Ca +f'(t]dt=0 即t=c,c为任意常数;和x+f(t)=0.将它们分别与y=t+f(t)联立, 即得克莱罗方程的通解y=cx+f(c)以及参数形式的特解 x=-f(t), 当"≠0时,由隐函数定理,从上第一式可知t为x的函数,记为 t=u(x),从而可得显式特解:y=xu(x)+f(u(x) 对于形式(1.2.33),要消去变量x,建立变量y和t之间的关系式,可以将 (1.2.33b)的两边求微分,并利用dy=p(t)dx,得 dy (= p(t) r)=p(t)Iy(y, p(t))dy+fp(y, p)p'(t)dt 求解此方程,设其通解和特解分别为o(y,t,c)=0和v(y,t)=0,于是原方程 的以t为参数的通解为 φ(y,t,c)=0 f(g, p(t))
* b+v3!'B6d: y 0 = t, y = t 2 − xt + x 2/2, dYtu _Y{ dy = tdx l dy = 2tdt − tdx − xdt − tdx + xdx = tdx 9l (2t − x)(dt − dx) = 0. csl t − x = c 2t − x = 0 (( c 't#. j()*d}u N, y = t 2 − xt + x 2/2 ., slF#6d' ½ x = t − c, y = t 2 − xt + x 2/2; F#6dD ½ x = 2t, y = t 2 − xt + x 2/2. :JF# t u l+v3`d' y = x 2 2 +cx+c 2 `dD y = x 2 /4. v 1.2.13 YZ678 (Clairaut) v3 y = xy0 + f(y 0 ) . XI f(·) X gz{noOt"#. * b+v3!'B6d: y 0 = t, y = xt + f(t); dYtu_ Y{ dy = tdx l tdx + xdt + f 0 (t)dt = tdx 9l [x + f 0 (t)]dt = 0. s t = c, c 't#; x + f 0 (t) = 0. b0}u N y = xt + f(t) ., sl678v3' y = cx + f(c) F#6dD ½ x = −f 0 (t), y = −tf0 (t) + f(t). m f 00 6= 0 )< ,"#69< WfdO{ t ' x "#< Y' t = w(x), WUOl`dD y = xw(x) + f(w(x)). \6d (1.2.33), o:J & x, h & y t Rc/d< Ob (1.2.33b) )hYtu< _Y{ dy = p(t)dx, l dy(= p(t)dx) = p(t)[fy(y, p(t))dy + fp(y, p)p 0 (t)dt], Y cv3, RX' D u ' φ(y, t, c) = 0 ψ(y, t) = 0, \ +v3 t 'F#' ' ½ φ(y, t, c) = 0, x = f(y, p(t)); 18